【数学】1-4《生活中的优化问题》.ppt

生活中的优化问题
例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令,解得x=0(舍去),x=(40)=
16000.
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.
说明
1、设出变量找出函数关系式;
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
确定出定义域;
所得结果符合问题的实际意义
h
r
例2、要生产一批带盖的圆柱形铁桶,要求每个铁桶的容积为定值V,怎样设计桶的底面半径才能使材料最省?此时高与底面半径比为多少?
解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.
由V=πr2h,得,则
令,解得,从而
,即h=2r.
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.
应用问题要引起重视.
(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、
不等式的证明及解法中有广泛的作用。
(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内
存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有
唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函
数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很
有用.
课堂小结