备战2012年联考mba数学系统班讲义.doc

管理硕士联考数学复****br/>(强化阶段)
第一章实数的运算及其绝对值
一、整数问题
1、整数除法的余数分析
设a、b为整数,b>0,则必有唯一的整数对c、r,其中0≤r<b,使a=bc+r,称c为b除a的商(当r>0时也称不完全商),r为余数,当r=0时,称b能整除a,称b为a的一个因数(或约数),a为b的倍数。
设、为整数,它们除以正整数b的余数分别为、,则除以b的余数等于除以b的余数, 除以b的余数等于除以b的余数,设k为正整数,则除以b的余数等于除以b的余数。
特别,如、均能被b整除,则也能被b整除,对任意整数c,a、c也能被b整除,对任意正整数k,也能被b整除。
【例1】是49的倍数
(1)、都是正整数(2)是7的倍数
解:(1)(2)单独明显均不充分,联合之,
=(2x+3y)(4x-y),其中4x-y是7 的倍数,2x+3y=14x-(4x-y)也必是7的倍数,可见是=49的倍数,充分答(c)。
能被2整除的整数称为偶数,被2除余1的整数称为奇数。由上可知:两个偶数的和、差仍为偶数,偶数乘以任何整数仍为偶数,两个奇数的和、差仍为偶数,两个奇数的乘积为奇数,奇数的正整数次乘方仍为奇数,一个偶数与一个奇数的乘积和、差为奇数,一个偶数和一个奇数的乘积为偶数。
【例2】=1
(1)x、y、a均为整数,且+=a
(2)x、y均为整数,且xy+ =a
解:对(1),x+y,x-y必有相同奇偶性,而和x+y,和x-y也均有相同奇偶性(从已知可见为整数),因此和有相同奇偶性,a必为偶数,题干成立。
对(2),xy和有相同奇偶性,a也必为偶数,题干也成立,答(D)。
2、质数和合数
设a≥2,为正整数,且除了1和其本身外,没有其他的正约数,则称a为质数(也叫素数),否则称a为合数,任何正整数a≥2都可以写成若干质因数的乘积:a=,如规定≤≤≤,则这种表示法是唯一的。质数中仅有一个2是偶数。
【例3】已知p、q均为质数,且满足,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是( )
(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)全等三角形(D)钝角三角形(E)等腰三角形
解:由于=125>59,可见p只能为2或3,而59不能被3整除,可见p=2,从而q=13,所给的边长依次为5,12,13,由知此三角形为直角三角形,答(B)
【例4】a、b是质数,a≠b 则
(1) (2)
解:(1)(2)单独明显不充分,联合之。
b为方程的两个根,有a+b=13,只可能其中一个为2,一个为11,所求为,题干成立,答(C)
3、最大公约数和最小公倍数
设a、b均为大于等于2的正整数,他们公共的约数中最大者称为他们的最大公约数数,他们公共的正倍数中最小者称为他们的最小公倍数。
如a、b没有公共的质因数,称a、b互质,a、b的最大公约数为1,或a、b的最小公倍数为ab,均是a、b互质的充分必要条件。
【例5】a、b均为合数,他们的最大公约数为1,最小公倍数是72,则a+b=( )
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17 (E)18
解:72=,要a、b没有公共的质因数,且其中不能取1,只有一个为=8,另一个为=9才可,此时a+b=17。答(D)
【例6】正整数a去除288和214,得到的余数都是29,则a的各位数码之和是( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14 (E)16
解:288-29=259=7×37,214-29=185=5×37,可见259和185的公约数只有1和37,但a﹥29,因此a=37,所求为3+7=10. 答(B)
4、完全平方数
设a为一个整数,称n=为完全平方数,如n﹥1为整数,则:你为完全平方数n的质因数分解数中各不同质因数均为偶数个。
【例7】n=156
自然数n加100是一个完全平方数
自然数n加168是一个完全平方数
解:(1)、(2)单独明显均不充分,联合之,
设n+100=,m为正整数,n+168=,k为正整数,则,因此k+m,k-m均为68的正因数,且具有相同奇偶性,只有,解得,n=-100=156,题干成立,答(C)
【例8】已知n为正整数,则满足条件的最小的n为432
(1)是一个完全平方数(2)是一个整数的立方
解:(1)(2)单独明显均不充分,联合之,
设=,其中为质数,=m=,其中为质数,则n=3=2,由质因数分解的唯一性可见中必至少有两个为2,一个为3,中必至少一个为2,一个为3,从而n=,题干成立,答(C)
二、有理数和无理数问题
可以写成两个整数之比的实数称为有理数,否则称为无理数。
如n为正整数,且非完全平方数,则为无理数
有理数和无理数的运算
如a、b均为有理数,则、ab、(b0)均为