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第四章导热问题的数值解Numerical Solution of Heat Conduction
第四章作业
2、3
分析解法的优点
(1)求解所依据的分析过程严谨;
(2)物理概念和逻辑推理清晰;
(3)求解结果以函数的形式表示, 能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。
数值解的必要性
(1) 对多数复杂导热问题,分析解无能为力。
(2) 随着计算机技术的发展, 数值解法的应用范围、规模、解题速度和精确度都有很大进展,已成为求解复杂传热问题的有效手段。
4-1 概述
4-1 概述
:用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(节点)的温度近似值代替物体内连续的温度分布,将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题,将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程组求解问题。
2. 基本步骤:
(1)对导热问题进行分析,做必要、合理的简化,建立物理模型;
(2)根据物理模型建立数学模型,即给出导热微分方程和单值性条件;
(1)、(2)是导热问题所有求解方法的基础。
(3)求解域离散化:空间和时间区域划分成有限个子区域,以网格线的交点为节点, 节点代表以它为中心的子区域(控制容积),节点温度代表该子区域的温度;
(4)建立节点温度代数方程组;
(5)求解节点温度代数方程组;
(6)对计算结果进行分析,若不符合实际情况,则修正上述步骤,重复进行计算,直到满意为止。
目前常用的数值解法主要有:有限差分法、有限元法、边界元法等。本章将主要介绍有限差分法。
4-2 稳态导热的有限差分解Finite-Difference Solution of Steady-State Conduction
用有限差分近似代替微分,用有限差商近似代替微商。
偏微分方程转化为差分方程。
以常物性、无内热源的二维稳态导热为例
一、差分方程的建立
1. 求解域离散
1)子区域划分
选择网格宽度x、y(步长),划分子区域。步长大小根据问题的需要而定。
2)节点选择
选择网格线交点和网格线与物体边界的交点作为节点,如( m, n )、( m+1,n ) 等。
2. 节点差分方程建立
1) 泰勒级数展开
对节点(m+1, n)和(m-1, n)分别写出t 在(m, n)节点的泰勒级数展开式:
两式相加,略去高阶项,得
中心差分格式
同样可得y方向得二阶偏导数
对无内热源二维稳态导热,微分方程为
将上两式代入,得
取x = y,得
根据节点所代表的子区域在导热过程中能量守恒建立节点温度差分方程。
(1) 内部节点
对无内热源二维稳态导热,内部节点( m,n )所代表的子区域在导热过程中的热平衡关系为
对垂直于画面方向单位宽度,
选择x=y
2) 热平衡法