圆锥曲线的综合问题一.doc

圆锥曲线的综合问题一.doc§ 圆锥曲线的综合问题
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度


、定值问题的方法和步骤
Ⅲ
2017课标全国Ⅱ,20;
2016北京,19;
2015课标Ⅱ,20
解答题
★★★




Ⅲ
2017山东,21;
2017浙江,21;
2016山东,21;
2016浙江,19
解答题
★★★



Ⅲ
2015四川,20;
2015湖北,22;
2014重庆,21;
2014湖南,20
解答题
★★☆
分析解读
从近几年的高考试题来看,直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合考查主要涉及曲线的求法、位置关系的判断及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题及各圆锥曲线间的联系等,,,凸显知识的连贯性和综合性,着重考查函数与方程、分类讨论、,需要较强的代数运算能力、图形认知能力、逻辑思维能力、数形之间转化能力
,在推理过程中要保持思维的逻辑性,确保结果正确完整.
五年高考
考点一定点与定值问题
1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).
由NP=2NM得x0=x,y0=22y.
因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),
则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQ·PF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
由OP·PQ=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,
故3+3m-tn=0.
所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解析(1)由题意有ca=22,4a2+2b2=1,
又c2=a2+b2,所以a2=8,b2=4.
所以C的方程为x28+y24=1.
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=k·xM+b=b2k2+1.
于是直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即kOM·k=-12.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
3.(2015陕西,20,12分)如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为22.
(1)求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
解析(1)由题设知ca=22,b=1,
结合a2=b2+c2,解得a=2.
所以椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.
由已知可知Δ>0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.[]
从而直线AP,AQ的斜率之和
kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2
=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-