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投资的收益和风险
市场上有n种资产Si(i=1,2,…,n)供投资者选择,,估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri,,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来度量.
购买Si要付交易费,费率为pi , 并且当购买额不超过给定值ui时,,假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险. (r0=5%)
问题的提出
问题的提出
已知n=4时的相关数据如下:
试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M,有选择的购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能最大,而总体风险尽可能小.
ri(%)
qi(%)
pi(%)
ui(元)
S1
28

1
103
S1
21

2
198
S1
23


52
S1
25


40
投资组合方案要达到两个目标:
净收益最大和总体风险最小
两个目标是矛盾的:
收益大,风险必然也大;
风险小,收益也小
不存在两个目标同时达到最优的投资方案
最终投资方案:
在一定风险下收益最大的方案
在一定收益下风险最小的方案
收益和风险按一定的比例组合最优的方案
投资建议
冒险性投资者选择高风险下收益最大的方案
保守性投资者选择低风险下收益最大的方案
问题分析
M:拥有资金额
Si:投资资产,i=0,1,2,…,n;
ri:投资Si在投资期内的平均收益率, i=0,1,2,…,n;
ri:投资Si在投资期内的风险损失率, i=0,1,2,…,n;
ui:投资Si的固定交易费阈值, i=0,1,2,…,n;
pi:投资资产Si的交易费率, i=0,1,2,…,n;
xi:投资资产Si的量, i=0,1,2,…,n;
ci(xi):投资资产Si的交易费, i=0,1,2,…,n;
Ri(xi):投资资产Si的净收益, i=0,1,2,…,n;
Qi(xi):投资资产Si的风险, i=0,1,2,…,n;
fi(xi):投资资产Si的所需资金(包括购买时支付的交易
费), i=0,1,2,…,n;
符号说明
对Si投资xi时的交易费ci(xi) ,
0, xi=0
ci(xi)= piui, 0<xi<ui i=1,2,…,n;
pixi, xi>=ui
c0(x0)=0
固定费用ci(xi)使成为非线性函数,处理难度增大
模型建立
对Si投资xi时的净收益
Ri(xi)= rixi- ci(xi), i=0,1,2,…,n;
对Si投资xi时的风险
Qi(xi)=qixi, i=0,1,2,…,n;
对Si投资xi时的所需资金(含交易费)
fi(xi)=xi+ ci(xi), i=0,1,2,…,n;
模型建立
投资方案x=(x0, x1, …, xn,)
投资方案的总净收益
R(x)=∑ Ri(xi)
投资方案的整体风险
Q(x)= max Qi(xi)
投资方案的总所需资金(含交易费)
F(x)= ∑ fi(xi)
模型建立
模型建立
总收益最大、整体风险最小两目标优化模型

通常化为单目标模型
模型建立
单目标优化模型M1
确定风险水平,记