基本不等式(2).doc

基本不等式(2).doc 基本不等式
[知识梳理]

设a>0,b>0,则a、b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

已知x>0,y>0,则:
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
注:应用基本不等式求最值时,必须考察“一正、二定、三相等”,忽略某个条件,就会出现错误.

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
(2)+≥2(a,b同号).
(3)ab≤2(a,b∈R).
(4)2≤(a,b∈R),
2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R).
(5)≥≥ab(a,b∈R).
(6)≥≥≥(a>0,b>0).
[诊断自测]

(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+的最小值是2.( )
(3)函数f(x)=sinx+的最小值为2.( )
(4)x>0且y>0是+≥2的充要条件.( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)×


(1)(必修A5P99例1(2))设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )


答案 C
解析由基本不等式18=x+y≥2⇔9≥⇔xy≤81,当且仅当x=y时,xy有最大值81,故选C.
(2)(必修A5P100A组T2)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大.
答案 15
解析设矩形的长为x m,宽为y +2y=30,所以S=xy=x·(2y)≤2=,当且仅当x=2y,即x=15,y=时取等号.

(1)下列不等式一定成立的是( )
>lg x(x>0)
+≥2(x≠kπ,k∈Z)
+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析取x=,则lg =lg x,故排除A;取x=π,则sinx=-1,故排除B;取x=0,则=1,.
(2)已知x>0,y>0,2x+y=1,则xy的最大值为________.
答案
解析∵2xy≤2=,
∴xy≤.∴xy的最大值为.
题型1 利用基本不等式求最值
角度1 直接应用
(2018·沈阳模拟)已知a>b>0,求a2+的最小值.
直接应用基本不等式.
解∵a>b>0,∴a-b>0.
∴a2+≥a2+=a2+≥2=4,当且仅当b=a-b,a2=2,a>b>0,即a=,b=时取等号.
∴a2+的最小值是4.
角度2 变号应用
求f(x)=lg x+的值域.
注意分类讨论.
解 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).
当0<x<1时,lg x<0,
∴-f(x)=-lg x+≥2,即f(x)≤-2.
当x>1时,lg x>0,
f(x)=lg x+≥2(当且仅当x=10时等号成立).
综上f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
角度3 寻求定值应用
求f(x)=4x-2+的最大值.
配凑成积定的式子.
解因为x<,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,(x)=4x-2+的最大值为1.
角度4 常量代换法求最值(多维探究)
(2015·福建高考)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )


注意巧用1的代换.
答案 C
解析因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),
所以+=1.
所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
[条件探究] 将典例条件变为“x>0,y>0且+=1”,求x+y的最小值.
解∵x>0,y>0,∴y>9且x=.
∴x+y=+y=y+
=y++1=(y-9)++10.
∵y>9,∴y-9>0.
∴y-9++10≥2+10=16.
当且仅当y-9=,即y=12时取等号.
又+=1,则x=4.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
方法技巧
利用基本不等式求最值的方法
:“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.
:“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但