基本不等式及其应用.doc

基本不等式及其应用.doc 基本不等式及其应用

>0,b>0,那么叫做这两个正数的算术平均数.
>0,b>0,那么叫做这两个正数的几何平均数.
:a,b∈R,则a2+b2≥(当且仅当a=b时取等号).
:a>0,b>0,则,当且仅当a=b时等号成立,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.简记为:积定和最小.
:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即,亦即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),:和定积最大.
:若a>0,b>0时,≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.
自查自纠
1. 2. 4.≥
2 2ab
≤2 ab≤(a+b)2 ab≤
7.

(教材****题改编)若x>0,则函数y=x+的最小值为( )

解:y=x+≥2=4,当且仅当x=,即x=.
已知a,b∈R+,且a+b=1,则ab的最大值为( )
B. C. D.
解: 因为a,b∈R+,所以1=a+b≥2,所以ab≤,当且仅当a=b=.
(河北省衡水中学2017届第三次调考)若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则a+b的最小值为( )

解:由a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,则有+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+.
若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.
解:由xy=1得x2+2y2=x2+≥2,当且仅当x=±.
(2016·鄂州一模)已知x>0,则的最大值为________.
解:因为=,又x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以0<≤,.
类型一利用基本不等式求最值
(1)(2017·山东)若直线+=1(a>0,b>0) 过点(1,2),则2a+b的最小值为________.
解:+=1(a>0,b>0)过点(1,2),可得+=1,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当a=2,b=4时取“=”.故填8.
(2)(2017·天津)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
解:≥=4ab+≥2==2b2,后一个等号成立的条件是ab=,两个等号可以同时取得,则当且仅当a2=,b2=.
【点拨】基本不等式的应用在于“定和求积,定积求和”,必要时可以通过变形(拆补)、配凑的技巧,或利用常数代换、构造“和”或者“积”,使之为定值.
(1)(湖北荆州市2017届期末)已知x,y∈(0,+∞),且满足+=1,那么x+4y的最小值为( )
- +2
+
解:因为x,y为正实数,所以x+4y=(x+4y)(+)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即x=+1,y=.
(2)(2015·湖南)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A.
解:由+=,知a>0,b>0,所以=+≥2 ,即ab≥2,当且仅当即a=,b=2时取“=”,.
类型二利用基本不等式求参数范围
(2015·宁夏模拟)已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为( )

解:因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(3a+b)=10+++≥2=6,当且仅当a=b时等号成立,故10++≥16,所以m≤16,.
【点拨】一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,,要记住几个常见的有关不等式的等价命题:(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;(3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min;(4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
已知a,b为正实数,且ab=1,若不等式(x+y)>m对任意正实数x,y恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[4,+∞) B.(-∞,1]
C.(-∞,4] D.(-∞,4)
解:因为a,b,x,y为正实数