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抽象函数解法例说
把一类没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数。由于抽象函数具有一定的抽象性,其性质隐而不露,因而学生对抽象函数问题比较害怕。其实,大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得,解题时,若能从研究抽象函数的“背景”入手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比、猜想出它可能为某种基本函数,常可觅得解题思路。,通常要用赋值法,而且高考数学中,常常要先求F(0) F(1)
1、线性函数型抽象函数正比例函数f(x+y)=f(x)+f(y)
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。
分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。
解:设,∵当,∴,
∵,
∴,即,∴f(x)为增函数。
在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,
∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4,
∴ f(x)的值域为[-4,2]。
例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设,∵当,∴,则,
即,∴f(x)为单调增函数。∵
, 又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴, 即,解得不等式的解为-1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数指数函数f(x+y)=f(x)f(y)
指数函数型抽象函数,即由指数函数抽象而得到的函数。
例3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:
(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负。
分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。
解:(1)令y=0代入,则,∴
。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。
例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;②;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。
分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=,用数学归纳法证明如下:
(1)x=1时,∵,又∵x ∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。
(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。
综上所述,x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数对数函数f(x)+f(y)=f(xy)
对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:
(1)f(1);