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分形几何学
——《数学欣赏》研究报告
这学期选修了《数学欣赏》这门课,通过这门课的学****对数学有了新的认识,以前一直认为数学就是无休止地做题和繁琐的公式的看法彻底改变了,数学也有生动有趣以及充满艺术性的一面。
通过老师上课的讲授以及自己查阅的一些资料我对分形几何学有了一些了解。伽利略说过,“上帝必定是一个几何学家。”我们身边的万物都与几何学有着千丝万缕的联系。几何学的课题就是去研究理解空间的本质,他是我们认识大自然、理解大自然、适应大自然的起点和基石。无论是在自然科学的发展顺序上,还是在全局的基本重要性上,几何学都是当之无愧的先行者。
分形几何学的产生:
1973年,曼德勃罗()在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关注,这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。
数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发,始终保持面积不变,把它的“海岸线”变成无限曲线,其长度也不断增加,并趋向于无穷大。以后可以看到,分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量,即海岸线的分维均介于1到2之间。
这些自然现象,特别是物理现象和分形有着密切的关系,银河系中的若断若续的星体分布,就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型,都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究,从而产生了分形几何学。
电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑,每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊,促使数学家和科学家深入研究。
法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物,对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书,特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》,开创了新的数学分支——分形几何学。
分形几何学的基本思想
分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似性。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构不变。
分形几何学的意义
19世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过:今后谁不熟悉分形,谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。中国著名学者周海中教授认为:分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,还改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。
分形几何学的应用:
分形几