第3章第一次****题课
拉格朗日中值定理
一、微分中值定理及其应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
柯西中值定理
泰勒中值定理
2. 微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维, 设辅助函数.
一般解题方法:
证明含一个中值的等式或根的存在,
可用原函数法找辅助函数.
多用罗尔定理,
证明至少存在一点
使
例1. 设
在
内可导, 且
上连续, 在
证: 问题转化为证
设辅助函数
显然
在[ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件,
故至
使
即有
少存在一点
例2
证: 问题转化为证
(1)
显然
在[ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件,
故至
使
少存在一点
整理得证.
例3.
设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
分析: 所给条件可写为
试证必存在
想到找一点 c , 使
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续,
所以在[0, 2]上连续, 且在
[0, 2]上有最大值 M 与最小值 m,
故
由介值定理, 至少存在一点
由罗尔定理知, 必存在
例4. 设实数
满足下述等式
证明方程
在( 0 , 1) 内至少有
一个实根.
证: 令
则可设
且
由罗尔定理知存在一点
使
即
(2)所证式中出现两端点,
可考虑用
拉格朗日定理.
证:
得证
例6. 设函数
在
内可导, 且
证明
在
内有界.
证: 取点
再取异于
的点
对
为端点的区间上用拉氏中值定理,
得
(定数)
可见对任意
即得所证.
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