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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

命题中的“或”“且”“非”称为____________________.

“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________,并用符号“________”,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:∀x∈M,p(x).

“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________,并用符号“________”,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为:∃x0∈M,p(x0).
注:特称命题也称存在性命题.

命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
因此,全称命题的否定是________命题;特称命题的否定是________命题.
∧q,p∨q,p的真假判断(真值表)
p
q
p∧q
p∨q
p
真
真
①
②
③
真
假
④
⑤
⑥
假
真
⑦
⑧
⑨
假
假
⑪
⑫
注:“p∧q”“p∨q”“ p”统称为复合命题,构成复合命题的p命题,q命题称为简单命题.
自查自纠

∀全称命题
∃特称命题
4.∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M,p(x)
特称全称
5.①真②真③假④假⑤真⑥假
⑦假⑧真⑨真假⑪假⑫真

(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
解:因为特称命题的否定是全称命题,所以p:∀n∈N,n2≤.
下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lgx<1 D.∃x∈R,tanx=2
解:对于B选项,x=1时,(x-1)2=0 .故选B.
(2017·山东)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )
∧q ∧q
∧q ∧q
解:由x>0时x+1>1,知p是真命题,由-1>-2,(-1)2<(-2)2可知q是假命题,即p,.
命题“∀x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是_______________________________.
解:由定义知命题的否定为“∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3”.故填∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3.
(2015·山东)若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
解:根据题意,m≥(tanx)max,而y=tanx在上单调递增,有(tanx)max=tan=1,所以m≥1,.
类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断
(1)设命题p:若x,y∈R,x=y,则=1;命题q:若函数f(x)=ex,则对任意x1≠x2都有>,真命题是( )
①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q.
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
(2)已知命题p:∀x∈N*,≥;命题q:∃x0∈N*,2x0+21-x0=2,则下列命题中为真命题的是( )
∧q B.(p)∧q
∧(q) D.(p)∧(q)
解:(1)当x=y=0时,无意义,故命题p为假命题;由于函数f(x)单调递增,所以对任意x1≠x2,x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,所以一定有>0成立,②④.
(2)根据幂函数的性质,可知命题p为真命题;由2x0+21-x0=2,得22x0-2·2x0+2=0,解得2 x0=,即x0=(或2x0+21-x0≥2=2,当且仅当2x0=21-x0,即x0=时等号成立),∧(q).
【点拨】判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;(3)依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反作出判断.
(1)已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0;命题q:∀x∈R,ex>( )
∨q是假命题
∧q是真命题
∧(q)是真命题
∨(q)是假命题
(2)已