频域：奈氏判据.ppt

频域中的稳定性判据 ( Nyquist稳定性判据)
1
引言
基本思想:利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。
系统的开环传递函数
则闭环系统的特征式
2
引言
系统的开环传递函数
则闭环系统的特征式
(1) F(s)是n阶有理分式,且零点数和极点数相同;
(2) F(s)的零点就是闭环系统的极点;
(3) F(s)的极点就是系统开环极点.
3
幅角原理

复数s s平面 s=σ+jω.
F(s) F(s) 复平面 F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ,经过复变函数F(s)的映射,均可在F(s)平面上可以找到对应的点F(si) 。所以复变函数F(s)就是从s平面到F(s)平面的映射,这种映射是一一对应的.
例如函数
若si = 2, 则F(s)=4/3;若si = -j,则F(s)=1- j
4
在s平面上取一闭合路径Γs ,它不经过F(s)的零点和极点, F(s)在Γs内零点数为Z,极点数为P, s按顺时针方向沿Γs绕一圈,则在F(s)平面上与之对应的闭合回路ΓF按顺时针方向围绕原点的圈数为:
N=Z-P
若N>0,即Z>P,则ΓF与Γs移动方向一致;
若N=0,即Z=P,则ΓF 不包围原点;
若N<0,即Z < P,则ΓF与Γs移动方向相反.
2. 幅角原理—柯西定理
5
证明:
式中
6
7
当s沿Γs绕行时, 将随之变化.

1)若F(s)的零点(如–Z2 )或极点(如–P1 )在Γs之外, s沿Γs绕行一圈时,相角变化皆为0.
2)若F(s)的零点(如–Z1 )在Γs之内, s沿Γs绕行一圈时,相角变化为-2π.
3)若F(s)的极点在Γs之内时, s沿Γs绕行一圈时,相角变化为2π.
结论:若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点,则当s沿Γs顺时针方向旋转一圈时, F(s)相角的变化:
F(s)相角变化-2π相当于ΓF 顺时针包围F(s)平面原点一圈,所以上式可写为 N=Z-P .
8
思考: 若
F(s)=1+G(s)H(s)------- 系统特征方程
闭合路径Γs取-------- S 右半平面(奈氏路径)
闭环系统稳定的充分必要条件是什么?
(Z=0 即:N=-P)
负号表示沿逆时针方向包围F(s)平面原点N圈
若P=0, 系统稳定的充分必要条件是N=0
9
奈魁斯特稳定判据

顺时针方向包围整个
s右半面。
当F(s)有若干个极点处于
s平面虚轴上时,则以这
些点为圆心,作半径为
无穷小的半圆,按逆时针
方向从右侧绕过这些点。
10