达布方法与雅可比多项式的一致渐近展式.doc

达布方法
与雅可比多项式的一致渐近展式
专业:基础数学
姓名:白晓玺
指导老师:赵育求教授
摘

要
在数论和组合论的很多应用中,需要考虑麦克劳林级数,(z)2磊%z疗的
系数a。当n趋向于无穷时的渐近展开。1878年,达布(Darboux)引入了一种
方法,用以解决当F(z)的收敛圆周上有有限个代数奇点时,a。渐近展开的问题。
尽管Darboux方法的应用日益广泛,方法本身却直到1 970年前后才有本质的改
进。包括容许奇点同时包含代数奇性和对数奇性,以及奇点之间可相互重合的问
题。后者被称为Darboux方法的一致处理。Wong和Zhao[6]在2005年解决了
两个或更多枝点重合时Darboux方法的一致处理问题。
雅可比(Jacobi)多项式碍口,卢’O)是一类古典正交多项式,关于其渐近性
质已有充分的研究。但由于其生成函数在0一o(o—osx)附近行为复杂,所以
不仅经典的Darboux方法难以应用,[6]的结论也不能直接应用于碍口’声’(cosO)
在0;0附近的一致渐近。
本文本质上应用【6】的基本想法,构造出一个迭代格式,解决了用一致
Darboux方法研究Jacobi多项式的一致渐近这一问题。主要的结论是
耳口,卢’(cos口)关于Bessel函数J。(Ⅳ口)及其导数J’。(Ⅳ口)的渐近展式()。
关键词:达布方法,雅可比多项式,一致渐近展式
A uniform asymptotic expansion of Jacobi
Abstract
The problem of obtaining the asymptotic behavior for the coefficients a。of the
Macl疵eXpansion F(z)。磊qz—arises

in

mny inst撒鹊in fie№such弱
number

theory

and

,(Z)has

only

a

finite number

of
singularities

on

its’circle of convergence,all of which

ale

algebraic in nature,
Dalboux's

method applies and

an

asymptotic expansion of

aa

can
be

obtained.
However,the validity of this expansion

ceases

to hold,when the

Singularities axe
allowed to approach each uniform treatment of
Darboux’S method is
needed,ofwhich
Wong
and
Zhao【61
is the latest version.
J猢bi polynomials碍口’声’∽furnish

a

system

of

classical

orthogonal
polynomials and

are

well

the generating function

of碍a,f1)(cos O)
shows

a
complicated behavior at 0—0,therefore both the classical Darboux’S
method
and the recent uniform treatment【6】seem not applicable to this case.
In this paper'we
use
essentially the main idea
in【6】,by constructing
an
iteration
proceedure,provide
a
solution
to the
problem
of obtaining
uniform
asymptotic
expansion via
Darboux’S

main result we obtained is
an asymptotic
exp哪ion()for群%助(coso),in terms of t