有理函数与三角函数的积分
一、最简单的有理函数的积分
1、
2、
3、
4、
二、一般有理函数的积分
1、定义:
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
其中m、n 都是非负整数,
及
都是实数,且
分子与分母没有公因式
是真分式;
是假分式;
2、假分式可化成一个多项式和一个真分式之和。
如
3、真分式可以化为部分分式之和。(难点)
多项式很容易实现积分,只需讨论真分式的积分。
(1)分母中若有因式
则可拆项为
(2)分母中若有因式
其中
真分式化为部分分式之和用的是待定系数法
则可拆项为
化为部分分式之和。
解:设
取
并将
例1、将
可根据等号两边同次项系数相等得到关于A、B、C的一元方程组求出系数,
也可代入特殊值来确定系数
代入方程
取
代入方程
取
代入方程
显然
有理函数化为部分分式之和,各项只会是三类函数的积分:
①多项式;
这三类函数的积分问题均已解决, 且原函数都是初等函数.
所以有理函数的原函数都是初等函数
例2、求
解:
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