常微分方程数值解法.ppt

常微分方程数值解法49364第1章常微分方程的数值解法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。
在高等数学中,对于常微分方程的求解,给出了一些典型方程求解析解的基本方法,如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的,大多数的常微分方程是不可能给出解析解。譬如
这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达它的解。
再如,方程
的解,虽然有表可查,但对于表上没有给出的值,仍需插值方法来计算
从实际问题当中归纳出来的微分方程,通常主要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题
( )
在区间a ≤ x ≤ b上的数值解法。
可以证明,如果函数在带形区域 R=a≤x≤b,
-∞<y<∞}内连续,且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数L(它与x,y无关)使
对R内任意两个都成立,则方程( )的解
在a, b上存在且唯一。
数值方法的基本思想
对常微分方程初值问题()式的数值解法,就是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点处的函数值
的近似值
。相邻两个节点的间距称为步长,步
长可以相等,也可以不等。本章总是假定h为定数,称为定步长,这时节点可表示为
数值解法需要把连续性的问题加以离散化,从而求出离散节点的数值解。
对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点,它们都采用“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进,描述这类算法,要求给出用已知信息
计算的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法,对初值问题
中的导数进行不同的离散化处理。
对于初值问题
的数值解法,首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化,建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类,一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi,即前一步的值,因此有了初值以后就可以逐步往下计算,此类方法称为单步法;其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时,除用到xi+1,xi和yi以外,还要用到
,即前面k步的值,此类方法称为多步法;其代表
是亚当斯法。
欧拉(Euler)法
Euler公式
欧拉(Euler)方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题
的解y=y(x)代表通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点
的切线的斜率等于函数在这点的值。
Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0))出发,
作积分曲线y=y(x)在P0点上切线(其斜率为
),与x=x1直线
相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为
当时,得
这样就获得了P1点的坐标。
同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线
交直线x=x2于P2点,切线的斜率=
直线方程为
当时,得