数分选讲讲稿第21讲.doc

讲授内容
备注
第二十一讲
二、广义积分敛散性的判定(十二法)
,且可考察时,无穷小
,则广义积分收敛;
阶数时发散.
,可用比较判别法,或比较判别法的极限形式.
,考察是否关于一致有界.
,只要对于充分大的能保持
成立即可.
5. 与同时收敛.
对有类似的方法.
,无穷次变号,
考虑用或判别法.
,只是本
,还有赖于进一步
考虑收敛还是发散.
,还可考虑用准则来判断.
,看极限是否存在.
,变成别的形式的积分,看
是否能判定它的敛散性.
.

若收敛,
3学时
则收敛.
若收敛,发散,
则发散.
注:对于无界函数的广义积分,,此条应是趋向瑕点时,,,则积分发散.
例8 设在上连续, 对任意,有
.另外.
试证:若,则收敛.
证(用比较判别法)
当时,有

即
, 当时.
因为,
据比较判别法,积分收敛.
例9 设在上有定义,.,使得
,对任意成立.
试证明: 收敛.
证已知,使得
,记,取,.则
故对任意保持有界.
积分收敛.
例10 设在区间里连续,且,
对任何正整数,:
广义积分收敛的充要条件是存在.
证充分性:
当时,.
故的敛散性,可用非负函数的判别法进行判定.
只需证明:当时,,保持有上界.
在上连续,
使得
因而当时,在上恒有

从而
令,.
收敛.
必要性:对单调不减,且.
关于单调有界.
且
即单调有界,必存在极限.
存在.
例11 证明积分有意义.
证I 积分
时,,故该积分为正常积分.
只要在处补充的值为零,则在上连续,积分有意义.


由判别法知,此积分收敛.
而在上单调有界,故由判别法知
收敛.
综合,,原积分有意义.
证II


故该积分有意义.
例12 积分是否收敛?是否绝对收敛?
瑕点附近,无穷次变号.
注:判别法与
判别法
经常交替使用.
注:观察被积函数的原函数.
证