数分选讲讲稿第28讲.doc

讲授内容
备注
第二十八讲
§ 幂级数
一、幂级数的收敛半径与收敛范围

的收敛半径可按如下公式计算
i)若存在或为
则; 若,则.
ii)若存在或为
则
注:求收敛区间时,要检验级数在区间端点的收敛性.
例1 求级数的收敛区间.
解令,级数变为

当时,级数发散;
当时,级数收敛.
故原级数当且仅当时收敛.
解不等式知,收敛区间为.
3学时
例2 求级数的收敛区间.
解
收敛,
在上收敛.
解不等式
得原级数的收敛区间为: .
(此时不能用上述公式)
例3 求级数的收敛范围.
解看作函数项级数,用根式判别法

其收敛范围为(时,破坏级数收敛的必要条件)
注:时, 充分大时.
例4 求级数的收敛范围.
解看作函数项级数,用根式判别法
按根式判别法知,原级数的收敛范围为.
二、初等函数展为幂级数
直接展开法:求高阶导数,带入公式.
间接展开法:熟记5个基本初等函数的展开式.
其收敛域情况如下:
当时,收敛域为;
当时,收敛域为;
当时,收敛域为.
间接展开法主要是通过变形、转换、利用已知的展开式.
例5 把下列函数展成的幂级数,并说明收敛范围.
1);
2).
解 1)


2)


例6 设,求证:
.
证变量替换令,则.





例7 试求的幂级数展开式.
解显然.


利用逐项积分或逐项微分法:幂级数在收敛区间内可逐项积分、逐项微分.




同样方法:将函数展成关于的
幂级数.
例8 求函数按的幂的展开式至三次项.
解






三、求和问题

利用逐项求导与逐项求积分,将级数化为已知级数的展开式求和.
例9 计算无穷级数
之和.
解I
两边从0到积分得
再积一次
左边级数正是原级数.
解II 设
则





例10 求级数的和函数.
解该级数收敛区间为
设
则由逐项积分定理得

于是.
例11 求级数的和.
解,
上式两端微分并乘以,有
再微分并乘以,有
在上式中取,有
.

例12 证明:若函数在上连续,令.

则在上一致收敛于
证先证明该级数一致收敛.
在上连续,在上有界.
,使得
由此可知,

用数学归纳法知

而级数
在上处处成立.
原级数在上一致收敛.
从而在上绝对一致收敛.
(证明和函数满足微分方程)
记原级数之和为

此式两端同时加上

两边在上积分

由此求导得

而,解此微分方程,得
.
例13 若的收敛半径为
,且
证




其中(1)
且收敛,故在上一致收敛,可逐项积分.
(2)
已知收敛,因此关于在上一致收敛,故可逐项求极限.
例14 设.
求证:当时, 有.
证的收敛半径.
时,
而级数在内可逐项微分,有连续的导数.
因此




令,得
即.
例15 证明:.
证考察幂级数
收敛半径为2,收敛区间.
设