2012年全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形.doc

2012年全行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
1.(天津)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′=t.
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
A
B
x
O
y
C
P
B′
图②
C′
Q
A
B
x
O
y
C
P
B′
图①
解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t
根据勾股定理,OP 2=OB 2+BP 2
即( 2t )2=6 2+t 2,解得t=2(t=-2舍去).
∴点P的坐标为(2,6)
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的
∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC
A
B
x
O
y
C
P
B′
C′
Q
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°
∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ
又∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴=
由题设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m
∴= ,∴m= t 2- t+6(0<t <11)
(Ⅲ)点P的坐标为( ,6)或( ,6)
A
B
x
O
y
C
P
Q
H
提示:过点P作PH⊥OA于H
易证△PC′H∽△C′QA,∴=
∵PC′=PC=11-t,PH=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m
∴AC′= =
∴=
∵= ,即=
∴= ,∴36-12m=t 2,即12m=36-t 2
又m= t 2- t+6,即12m=2t 2-22t+72
∴2t 2-22t+72=36-t 2,即3t 2-22t+36=0
解得:t=
∴点P的坐标为( ,6)或( ,6)
2.(天津模拟)如图,在梯形ABCO中,A(0,2),B(4,2),点C为x轴正半轴上一动点,M为线段BC中点.
(1)设C(x,0),S△AOM =y,求y与x的函数关系式;
(2)如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切,求点C的坐标;
(2)连接OB交线段AM于N,如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似,的解析式.
C
A
B
O
M
x
D
y
解:(1)取OA中点D,连接DM
则DM= ( AB+OC )= (4+x )= x+2
∴y= OA·DM= ×2×( x+2 )= x+2
即y= x+2
(2)设⊙M的半径为r,⊙M与AB交于点E,连接CE
C
A
B
O
M
x
D
y
E
N
则∠BEC=90°,OC=AE=x,BE=4-x,CE=2
在Rt△BCE中,(4-x )2+2 2=(2r )2 ①
又DM=1+r= ②
由①、②解得x=
∴点C的坐标为( ,0)
(3)延长AM交x轴于点F
则△CMF≌△BMA,∴CF=AB=4,OF=x+4
∵AB∥OF,△ANB∽△FNO,∴= =
∴AN= AF= =
∵DM⊥OA,AD=OD,∴AM=OM
∴∠DAM=∠DOM,∴∠BAN=∠MOC
C
A
B
O
M
x
D
y
N
F
①若= ,则△ABN∽△OMC
于是=
整理得:x 2+8x-20=0,解得:x1=-10(舍去),x2=2
∴C(2,0),F(6,0)
可得直线AF的解析式为y=- x+2,直线OB的解析式为y= x
由解得∴N( ,)
C
A
B
O
M
x
D
y
N
F
的解析式为y=kx+b,则:
解得
∴的解析式为y=3x-6
②若= ,则△ABN∽△OCM
于是=
整理得:x+8=2x,解得:x=8
∴C(8,0),F(12,0)
可得直线AF的解析式为y=- x+2,直线OB的解析式为y= x
由解得∴N(3,)
的解析式为y=k′x+b′,则:
解得
∴的解析式为y=- x+
3.(上海模拟)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一