第4章平面问题有限单元法2.ppt

李建宇
天津科技大学
工程中的有限元方法
Finite Element Method in Engineering
内容平面问题的有限元法 2
3 形函数的性质
4 整体刚度矩阵的组装及其性质
5 等效节点载荷向量
要求理解:连续体有限元分片插值的含义;
形函数的功能及其性质;
基于虚功方程的整体刚度矩阵的组装;
基于虚功方程的等效节点载荷向量的生成
掌握: 常应变三角形单元组装技术;
常应变三角形单元等效节点载荷向量的生成

课后作业推导常应变三角形单元总刚和等效载荷向量
回顾
连续体有限元分析的基本流程
整体
离散
单元分析
单元
组装
整体解算
连续体结构
人工节点
逼近离散
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
单元节点位移
Fmy
Fmx
Fjy
Fiy
Fix
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
Fjx
y
x
o
单元等效节点力
单元刚度方程
离散化方法
回顾
几何实体的逼近性离散
三角形单元分析
回顾
目标:对三角形单元,建立节点位移与等效节点力之间的转换关系。
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
单元节点位移
Fmy
Fmx
Fjy
Fiy
Fix
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
Fjx
y
x
o
单元等效节点力
~
?
回顾
三角形单元分析
单元分析的流程
(1)节点位移
内部节点位移
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
解决办法:插值(分片插值的提法)
形函数矩阵
形函数(shape function)及其性质
回顾
下标i, j, m 轮换
性质:
其中:
(a)Ni (x, y)在i点的节点位移为1,其它节点为0。
(b)单元中任一点各形函数的和为1。
力学意义:固定 j,m节点,使i节点发生位移1,则单元内各点的位移场为Ni (x, y)。
力学意义:令单元发生刚体位移u0,则单元内各点的位移均为u0,即
单元分析流程
(2)内部节点位移
应变
回顾
解决办法:弹性力学几何方程
[B]矩阵称为应变矩阵
得
代入
该单元为常应变单元
单元分析流程
(3)应变
应力
回顾
解决办法:弹性力学物理方程
得
代入
[S]矩阵称为应力矩阵。
例:对于平面应力问题
代入
得
其中