函数的奇偶性.ppt

函数的奇偶性
观察函数图象,你有什么发现?
x
y
o
x
y
o
通过观察我们发现,在这个函数图象中,对于任意的x,总有
f(x)=f(-x)
通过观察我们发现,在这个函数图象中,对于任意的x,总有
f(-x)=-f(x)
动手做一做:
请做出y=sinx和y=cosx的图像。
y=sinx
y=cosx
2、奇偶函数图像的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数。
(2)偶函数的图像关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数为偶函数。
例 1:根据下列函数图像,判断函数的奇偶性。
x
x
y
x
y
x
例 2:如图给出了偶函数y=f(x)的局部图像,试比较f(1)与f(3)的大小。并做出y=f(x)的图像。
x
y
O
– 3
2
–1
例3. 下面四个命题:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).
其中正确的命题序号为________.
解析:①错误,比如f(x)=1/x²;②错误,比如f(x)=1/x;
④错误,如f(x)=0,x∈[-1,1]。
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x³+2x (2)f(x)=2x²+3cos(x)
解: 定义域为R
f(-x) =(-x)³+2(-x)
=-x³-2x
=-(x³+2x)
即 f(-x)=-f(x)
故 f(x)为奇函数
解: 定义域为R
f(-x)=2(-x)²+3cos(-x)
=2x²+3cos(x)
即 f(-x)=f(x)
故 f(x)为偶函数
根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是:
(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;
(2)求f(-x),找 f(x)与f(-x)的关系:若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数。
(3)作出结论。 f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。
小结:
1、图象性质:
奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称。
2、判断奇偶性方法:图象法,定义法。