概率论与数理统计PPT教学课件-第11讲.ppt

概率论与数理统计
第十一讲
北京工业大学应用数理学院
前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道了随机变量 X 的概率分布,那么,关于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而,在实际问题中,概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中,我们并不需要知道随机变量的所有性质,只要知道其一些数字特征就够了。
因此,在对随机变量的研究中,确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。
最常用的数字特征是:期望和方差。
离散型随机变量的数学期望
概念引入:
某车间对工人生产情况进行考察,车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。如何定义 X 的平均值?
§ 数学期望
第四章数字特征
若统计了100天小张生产产品的情况,发现:
可以得到这100天中每天的平均废品数为
32天没有出废品;30天每天出一件废品;
17天每天出两件废品;21天每天出三件废品。
可以想象:若另外再统计100天,其中不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,。
n0天没有出废品;
n1天每天出一件废品;
n2天每天出两件废品;
n3天每天出三件废品.
可以得到这n天中,每天的平均废品数为
(假定每天至多出三件废品)
一般来说, 若统计了n天,
这是以频率为
权的加权平均
由频率与概率的关系,
不难想到:求废品数X的平均值时,用概率替代频率,得平均值为:
这是以概率为
权的加权平均
这样,就得到一个确定的数
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为
P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
也就是说:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数和。
如果
有限, 则称
为X 的数学期望(或均值)。
在 X 取可列无穷个值时,级数绝对收敛
可以保证“级数之值不因级数各项次序的改
排而发生变化”,这样E(X)与X取值的人为排列次序无关。
例1: 有4只盒子,编号为1, 2, 3, 4。现有3个球,将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码,E(X)。
解:首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i号盒中至少有一个球,i=1, 2, 3, 4。
为求 P{X=1},考虑{X=1} 的对立事件:{1号盒中没有球},其概率为(3/4)3,因此
{X=2} 表示{1号盒中没有球,而2号盒中至少有一个球},类似地得到:
于是,