数学公理化方法的意义和作用.doc

数学公理化方法的意义和作用
2008-9-27 16:06:49
                                                                                  ——摘自《徐利治谈数学哲学》
    公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用,可以说,,公理化方法也是一个十分重要的方法.
    所谓公理化方法(或公理方法),就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发,利用纯逻辑推理法则,,当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系而并非人们自由意志的随意创造.
    众所周知,Hilbert l899年出版的《几何学基础》,,,,公理化过程是可以包含着一些发展阶段的.
    谈到数学公理化的作用,至少可以举出如下四点:
    (1)这种方法具有分析、,由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来,故使用起来也较方便.
(2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚,这就有利于比较各门数学的实质性异同,并能促使和推动新理论的创
(3),20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化,而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……
    (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求,因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例
数学公理化方法
2007-09-19 23:30
§2 数学公理化方法
公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用,,即使在数学教学中,也是一个十分重要的方法.
一、公理化方法的意义和作用
所谓公理化方法,就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发,运用逻辑规则推导出其余命题或定理,把一门数学建立成为演绎系统的一种方法.
公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用,而且已经远远超出数学的范围,渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门,并在其中起着重要作用.
、,需要按照逻辑顺序加以综合整理,使之条理化、系统化,上升到理性认识的时候,,,发现了它们具有基本的共同属性,就用一个满足一定条件的公理集合来定义群,形成一个群的公理系统,并在这个系统上展开群的理论,推导出一系列定理.
,不但对建立科学理论体系,训练人的逻辑推理能力,系统地传授科学知识,以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用,,由于公理化方法的应用,在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念,建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果;在几何方面,,公理化方法也是在理论上探索事物发展规律,作出新的发现和预见的一种重要方法.
——数理逻辑,用数学方法研究思维过程中的逻辑规律,,,它对公理化方法进行研究,一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展,一方面把人的某些思维形式,特别是逻辑推理形式加以公理化,.
,也决不是一大堆事实及材料的简单积累,《自然哲学的数学原理》巨著中,系