备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题71 定模型求离散型随机变量的期望与方差 理.doc

专题71 定模型求离散型随机变量的期望与方差
考纲要求:
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现
象的重要性.
(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分
布,并能解决一些简单的实际问题.
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的
均值、方差,并能解决一些实际问题.
(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
基础知识回顾:
1、离散型随机变量的期望与方差.
①期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
…
…
P
…
…
则称为ξ的数学期望或平均数、.
②方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为时,则称为ξ的方差. 显然,,,稳定性越高,波动越小.

(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.
(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=,此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.
4、均值与方差的常用性质:
(ⅰ)E(aξ+b)=aE(ξ)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aξ+b)=a2D(ξ);若已知随机变量ξ的均值、方差,求ξ的线性函数的均值、方差和标准差,可直接用ξ的均值、方差的性质求解.
(ⅱ) 若X服从二点分布,则E(X)=p,D(X)=pq. 一般地,若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二点分布、二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.
(ⅲ) 若X服从超几何分布,则E(X)=; 若X服从几何分布:E(X)=;D(X)=。
应用举例:
类型一、相互独立事件的概率
例1【2018届江西省南昌三中上第二次考试】在2017年高校自主招生期间,某校把学生的平时成绩按“百分制”折算,选出前名学生,并对这名学生按成绩分组,第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为.
(1)请在图中补全频率分布直方图;
(2)若大学决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试
(I)若大学本次面试中有三位考官,规定获得两位考官的认可即可面试成功,且各考官面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为,求甲同学面试成功的概率;
(II)若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试,第3组总有名学生被考官面试,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)见解析,(2),
0
1
2
3
(2) (Ⅰ)

(Ⅱ)
0
1
2
3
,
例2【2017四川模拟】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛,经过初赛,复赛,甲、乙两个代表队,(每队人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得分,答错得分,假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用表示乙队的总得分.
(1)求的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.
【答案】(1)的分布列为
数学期望.(2).
;
.
的分布列为
.
点评:(1)相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互不影响;互斥事件是指同一次试验中,两个事件不会同时发生;
(2)求用“至少”表述的事件的概率时,先求其对立事件的概率往往比较简单.
类型二:求离散型随机变量的均值与方差
例3【2017浙江,8】已知随机变量满足P(=1)=pi,P(=0)=1—pi,i=1,2. 若0<p1<p2<,
则(