工程数学-线性代数第五版答案03.doc

第三章矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1);
解(下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. )
~(下一步: r2¸(-1), r3¸(-2). )
~(下一步: r3-r2. )
~(下一步: r3¸3. )
~(下一步: r2+3r3. )
~(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. )
~.
(2);
解(下一步: r2´2+(-3)r1, r3+(-2)r1. )
~(下一步: r3+r2, r1+3r2. )
~(下一步: r1¸2. )
~.
(3);
解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )
~(下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). )
~(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. )
~.
(4).
解(下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. )
~(下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. )
~(下一步: r1«r2, r2´(-1), r4-r3. )
~(下一步: r2+r3. )
~.
2. 设, 求A.
解是初等矩阵E(1, 2), 其逆矩阵就是其本身.
是初等矩阵E(1, 2(1)), 其逆矩阵是
E(1, 2(-1)) .

.
3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
(1);
解~
~~
~
故逆矩阵为.
(2).
解
~
~
~
~
~
故逆矩阵为.
4. (1)设, , 求X使AX=B;
解因为
,
所以.
(2)设, , 求X使XA=B.
解考虑ATXT=BT. 因为
,
所以,
从而.
5. 设, AX =2X+A, 求X.
解原方程化为(A-2E)X =A. 因为

,
所以.
6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?
解在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式.
例如, , R(A)=3.
是等于0的2阶子式, 是等于0的3阶子式.
7. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A, B的秩的关系怎样?
解 R(A)³R(B).
这是因为B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不会小于B的秩.
8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是
(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).
解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:
,
此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.
9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:
(1);
解(下一步: r1«r2. )
~(下一步: r2-3r1, r3-r1. )
~(下一步: r3-r2. )
~,
矩阵的, 是一个最高阶非零子式.
(2);
解(下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )
~(下一步: r3-3r2. )
~,
矩阵的秩是2, 是一个最高阶非零子式.
(3).
解(下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. )
~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. )
~(下一步: r2¸16r4, r3-16r2. )
~
~,
矩阵的秩为3, 是一个最高阶非零子式.
10. 设A、B都是m´n矩阵, 证明A~B的充分必要条件是R(A)=R(B).
证明根据定理3, 必要性是成立的.
充分性. 设R(A)=R(B), 则A与B的标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有
A~D, D~B.
由等价关系的传递性, 有A~B.
11. 设, 问k为何值, 可使
(1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.
解.
(1)当k=1时, R(A)=1;
(2)当k=-2且k¹1时, R(A)=2;
(3)当k¹1且k¹-2时, R(A)=3.
12. 求解下列齐次线性方程组:
(1);
解对系数矩阵A进行初等行变换, 有
A=~,
于是,
故方程组的解为
(k为任意常数).
(2);