工程数学-线性代数第五版答案04.doc

第四章向量组的线性相关性
1. 设v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3.
解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T
=(1, 0, -1)T.
3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T
=(3´1+2´0-3, 3´1+2´1-4, 3´0+2´1-0)T
=(0, 1, 2)T.
2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T,
a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T.
解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得


=(1, 2, 3, 4)T.
3. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T;
B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T,
证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示.
证明由


知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示.
由

知R(B)=2. 因为R(B)¹R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示.
4. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T;
B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T,
证明A组与B组等价.
证明由
,
知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)³2, 又R(A)£R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价.

5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明
(1) a1能由a2, a3线性表示;
(2) a4不能由a1, a2, a3线性表示.
证明(1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示.
(2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T;
(2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T.
解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为
,
所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为
,
所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.
7. 问a取什么值时下列向量组线性相关?
a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T.
解以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由

知, 当a=-1、0、1时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.
8. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式.
解因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使
l1(a1+b)+l2(a2+b)=0,
由此得,
设, 则
b=ca1-(1+c)a2, cÎR.
9. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关?试举例说明之.
解不一定.
例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有
a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,
而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的.
10. 举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1, a2, × × ×, a