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数学笔记.doc
文档介绍:
函数、极限和连续
§1.1 函数
主要内容
㈠函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
y=f-1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( );
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( );
若f(x1)<f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( );
若f(x1)>f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称
偶函数:f(-x)=f(x)
奇函数:f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性:
周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞)
周期:T——最小的正数
4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢基本初等函数
1.常数函数: y=c , (c为常数)
2.幂函数: y=xn , (n为实数)
3.指数函数: y=ax , (a>0、a≠1)
4.对数函数: y=loga x ,(a>0、a≠1)
5.三角函数: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数:y=arcsin x, y=on x
y=arctan x, y=ot x
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极限
主要内容
㈠极限的概念
数列的极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A.
定理: 若的极限存在必定有界.
2.函数的极限:
⑴当时,的极限:

⑵当时,的极限:

左极限:
右极限:
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量:
称在该变化过程中为无穷大量。
X再某个变化过程是指:

无穷小量:
称在该变化过程中为无穷小量。
无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
无穷小量的比较:
⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量;
⑵若(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
⑶若,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;
⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理:若:
则:
㈢两面夹定理
数列极限存在的判定准则:
设: (n=1、2、3…)
且:
则:
函数极限存在的判定准则:
设:对于点x0的某个邻域内的一切点
(点x0除外)有:
且:
则:
㈣极限的运算规则
若:
则:①


推论:①



㈤两个重要极限
1. 或
2.
§1.3 连续
主要内容
㈠函数的连续性
函数在处连续:在的邻域内有定义,
1o
2o
左连续:
右连续:
函数在处连续的必要条件:
定理:在处连续在处极限存在

函数在处连续的充要条件:
定理:
函数在上连续:
在上每一点都连续。
在端点和连续是指:
左端点右连续;
右端点左连续。

a+ 0 b- x
函数的间断点:
若在处不连续,则为的间断点。
间断点有三种情况:
1o在处无定义;
2o不存在;

3o在处有定义,且存在,
但。
两类间断点的判断:
1o第一类间断点:
特点:和都存在。
可去间断点:存在,但
,或在处无定义。
2o第二类间断点:
特点:和至少有一个为∞,
或振荡不存在。
无穷间断点:和至少有一个为∞
㈡函数在处连续的性质
连续函数的四则运算:
设,
1o
2o
3o
复合函数的连续性:


则:
反函数的连续性:


㈢函数在上连续的性质
1.最大值与最小值定理:
在上连续在上一定存在最大值与最小值。
y y
+M M
f(x) f(x)

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