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整数裂项求和
对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
答案:333300
提示:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。
1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(3-0)
2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(4-1)
3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(5-2)
4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(6-3)
……
98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(100-97)
99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(101-98)
将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3=333300
训练快餐:
1. 1×2+2×3+3×4+4×5+……+49×50
2、3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
备注:想一想,第二题除以几?
例2、计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99
答案:23527350
提示:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。
1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3)÷4
2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4)÷4
3×4×5=(3×4×5×6-2×3×4×5)÷4
……
96×97×98=(96×97×98×99-95×96×97×98)÷4
97×98×99=(97×98×99×100-96×97×98×99)÷4
右边累加,括号内相互抵消,整个结果为(97×98×99×100-0×1×2×3)÷4=(97×98×99×100-0×1×2×3)÷(1×4)
=23527350
训练快餐:
1. 2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100
2、10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
答案:338350
提示:n×n=(n-1)×n+n
1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
=1+(1×2+2)+(2×3+3)+……+(98×99+99)+(99×100+100)
=(1×2+2×3+……+98×99+99×100)+(1+2+3+……+99+100)
=99×100×101÷3+(1+100)×100÷2
=333300+5