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第一讲平方根、立方根
一、基本概念
平方根的定义及表示方法:
如果一个数的平方等于,,若,“”.
算术平方根:
一个正数有两个互为相反数的平方根,其中正的平方根叫做的算术平方根,可用符号表示为“”;有一个平方根,就是,的算术平方根也是,负数没有平方根,当然也没有算术平方根.(负数的平方根在实数域内不存在,具体内容高中将进学****研究)
一个非负数的平方根不一定是非负数,但它的算术平方根一定是非负数,即若,则.
平方根的计算:
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.
开平方与平方是互逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.
平方根与算术平方根的区别及联系:
区别:
(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.
(2)个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示方法不同:正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为.
(4)取值范围不同:正数的算术平方根一定是正数;正数的平方根则一正一负,两数互为相反数.
联系:
(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的一种。
(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有。
(3)0的平方根、算术平方根均为0.
通过验算我们可以知道:
⑴当被开方数扩大(或缩小)倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍().
⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:
①若,则;②不管为何值,总有
注意二者之间的区别及联系.
⑶若一个非负数介于另外两个非负数、之间,即时,它的算术平方根也介于、之间,即:利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围.
立方根的定义及表示方法:
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根,也就是说,若则就叫做的立方根,一个数的立方根可用符号表“”,其中“”叫做根指数,“”其实省略了根指数“”,即:“三次根号”,读作“二次根号”,读作“根号”.任何一个数都有立方根,且只有一个立方根,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,的立方根为.
立方根的计算:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方,开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根.
通过归纳我们可以知道:
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍,它的立方根相应地扩大(或缩小)倍.
⑵,
⑶若一个数介于另外两个数、之间,即,它的立方根也介于和之间,即利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围.
二、知识归纳
1、由算术平方根的定义得到:一个非负数a的算术平方根可记作,它是非负数,就是说,当有意义时,它一定表示一个非负数,故具有双重非负性:①a≥0;②≥0.
2、是算术平方根的专有记号,它有两重意义:①表示求根号内的非负数的算术平方根,是运算符号;②求a的算术平方根,其思维方式与乘方是逆向的,即要这样想,什么非负数的平方等于a.
3、求一个数的平方根,实质上是已知指数和幂,.
练****题:
1、判断下列各题,并说明理由
⑴的平方根是. ( )
⑵一定是正数. ( )
⑶的算术平方根是. ( )
⑷若,则. ( )
⑸. ( )
⑹是的平方根. ( )
⑺的平方根是. ( )
⑻若,则. ( )
⑼若两个数平方后相等,则这两个数也一定相等. ( )
⑽如果两个非负数相等,那么这两个数各自的算术平方根也一定相等. ( )
⑾算术平方根一定是正数. ( )
⑿没有算术平方根. ( )
⒀的立方根是. ( )
⒁是的立方根. ( )
⒂. ( )
⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数. ( )
⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根,任何数都有唯一的奇数次方根. ( )
2、填空:
⑴若,则;若,则.
⑵若,则的平方根是;若,则.
⑶若,则;若,则.
⑷当,的算术平方根是.
⑸算术平方根是,则.
⑹若一个自然数的一个平方根是,那么比它大的自然数的平方根是.
⑺平方根等于本身的数是,算术平方根等于它本身的数是,立方根等于它本身的数是;平方根与立方根相等的数是.
3、求下列各式的值:
4、(1)已知某正数的两个平方根是与,求这个正数.
(2)已知与是某正数的平方根,求这个正数.
5、(1)已知的平方根是,的立方根是,求的平方根.

(2)已知,(),且(),,求的值.