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第五章大数定律与中心极限定理
§ 大数定律
在实践中,人们发现事件发生的“频率”具有稳定性。在讨论数学期望时,又看到在大量独立重复试验时,“平均值”也具有稳定性。大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性,同时表达了这种稳定性的含义,即“频率”和“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。
一、切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望,方差,则对任意正数,有下列切比雪夫不等式           
证明:(仅对连续性随机变量加以证明,离散型留给同学课下练****br/>设,则
     或
    例1利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率。
    解:由切比雪夫不等式     
令,有   。
例2 设随机变量X的方差为2,试根据切比雪夫不等式估计。
解:由切比雪夫不等式     
令,有        。
二、大数定律
(一)重要概念及性质

如果对任何是相互独立的,那么称随机变量列是相互独立的。此时,若所有的都有共同的分布,则称是独立同分布的随机变量列。

设为随机变量列,若存在随机变量,对于任意,有
或
则称随机变量列{}依概率收敛于随机变量,并用下面符号表示:
 或
    注:依概率收敛与高等数学中的收敛是不同的。
    在高等数学中,{}为确定性变量,若,这是指对任意给定的,可找到,对所大于的,都有,而不会有例外。
    在概率论中,{}为非确定性变量(随机变量),{}依概率收敛于,意味着对任意给定的,当充分大时,事件“”发生的概率很大,接近于1,但并不排除事件“”的发生,只不过是它发生的可能性很小而已。
    因此,依概率收敛的条件比高等数学中的收敛的条件要弱,具有某种不确定性。

设{}为一随机变量列,并且存在,令,若
                
则称随机变量列{}服从大数定律。
(二)重要定理
1.(切比雪夫大数定律)
设随机变量列相互独立,均具有有限方差,且被同一常数C所界;,则对于对任意的正数,有。
证