2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案.doc

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,,只有一个选项符合
题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、设函数在连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为()
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】(C)
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由的图形可知,曲线存在两个拐点,故选(C).
2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则()
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
【详解】为齐次方程的解,所以2、1为特征方程的根,从而再将特解代入方程得:
3、若级数条件收敛,则与依次为幂级数的:
(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点
【答案】(B)
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
【详解】因为条件收敛,故为幂级数的条件收敛点,进而得的收敛半径为1,收敛区间为,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间仍为,因而与依次为幂级数的收敛点、发散点.
4、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域,函数在D上连续,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★
【详解】由得,;由得,
由得,
由得,
所以
5、设矩阵,,若集合,则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★
【详解】
有无穷多解
或且或
6、设二次型在正交变换下的标准形为,其中
,若,则在正交变换下的标准形为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(A)
【考点】二次型
【难易度】★★
【详解】由,故且:
所以,故选(A)
7、若为任意两个随机事件,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(C)
【考点】
【难易度】★★
【详解】
故选
8、设随机变量不相关,且则
(A)-3 (B)3 (C)-5 (D)5
【答案】(D)
【考点】
【难易度】★★★
【详解】
二、填空题:9~14小题,每小题4分,.
9、
【答案】
【考点】极限的计算
【难易度】★★
【详解】
10、
【答案】
【考点】积分的计算
【难易度】★★
【详解】
11、若函数由方程确定,则.
【答案】
【考点】隐函数求导
【难易度】★★
【详解】令,则,,,又当时,,所以,,因而
12、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则
【答案】
【考点】三重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性,得
其中为平面截空间区域所得的截面,
13、n阶行列式
【答案】
【考点】行列式的计算
【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
14、设二维随机变量服从正态分布,则.
【答案】
【考点】
【难易度】★★
【详解】,且独立
,
三、解答题:15~23小题,、证明过程或演算步骤.
15、(本题满分10分)
设函数,,若与在是等价无穷小,求,,值。
【考点】等价无穷小量,极限的计算
【难易度】★★★
【详解】
是等价无穷小
16、(本题满分10分)
设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及x轴所围成的区域的面积为4,且,求的表达式.
【考点】微分方程
【难易度】★★★
【详解】如下图:
处的切线方程为:
与轴的交点为:时,,则,
因此,.即满足微分方程:,解得:.
又因,所以,故.
17、(本题满分10分)
已知函数,曲线,求在曲线上的最大方向导数.
【考点】方向导数,条件极值
【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.,故
故在曲线上的最大方向导数为,其中满足,即就求函数在约束条件下的最值.
构造拉格朗日函数
令可得
其中
综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为.
18、(本题满分10分)
(Ⅰ)设函数可导,利用导数定义证明
(Ⅱ)设函数可导,写出的求导公式.
【考点】导数定义
【难易度】★★
【详解】
19、(本题满分10分)
已知曲线的方程为起点为,终点为,计算曲线积分