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用特殊化思想解决一个含有三个参数的共点问题
上海市金汇高级中学王伟红
实例:
(2013年金山区一模理科卷第14题)若实数成等差数列,点在动直线上的射影为M,点,则线段MN长度的最小值是_______
提出问题:
“若实数成等差数列,动直线有什么性质?”
高中数学中的直线系主要有两类:平行系和共点系。若实数成等差数列,直线属于哪类呢?疑问是:相交但是一定交于一点吗?
解题过程:
1、取两组特殊等差数列:-1,0,1和1,2,3,得方程组
2、猜测:动直线经过定点(1.,-2)
3、TI图形计算器检验结论:
(1)在同一坐标系中绘制两条直线
(2)求交点
(3)绘制一根新的直线:
(4)进入菜单的动作选项中插入游标a和c
(5)移动a、c游标,改变a、c大小,可以发现无论a、c取任何值,直线都经过的交点(1.,-2)。
4、证明结论:由条件可设动直线为,
整理得
无论取何值,一定有
故得当实数成等差数列时,直线一定经过定点(1.,-2)
5、结论推广:直线经过定点(1.,-2)的充要条件是实数成等差数列。
简要评议:
用特殊化思想可以猜测结论,利用图形计算器可以很好地验证我们的猜想。图形计算器的先进性是通过拖动游标,任意改变的值,即可发现直线恒过定点(1,-2)这一性质。
但是学生没有这样的机器辅助时,只能学****一些常用的数学思想方法,如特殊化方法。
所谓特殊化方法,是指解决一些较为抽象复杂的数学问题时,先考虑简单情形,或者特殊对象、特殊位置,或者考虑极端情况,将抽象问题放到简单背景下去考虑,从对特殊对象的研究中找出一般规律,最终完成从具体到抽象、从局部到整体的思维过程的一种数学思想方法,这种方法使用广泛,尤其在解填空、选择题时应用较多。
实例中的问题含有三个参数,对于学生而言,含有三个参数的直线具有怎样的性质不容易解决。其实在条件“实数成等差数列”限制下,问题的常见形式是含有一个参数的关于的二元一次方程表示的直线恒过哪个定点问题。因为如1、直线,恒过定点________;2、直线恒过定点_______。用特殊化方法取两组特殊值即可求得定点坐标。