群论group theory 1.ppt

群论group theory_1群论
参考书:
《群论》,韩其智、孙洪州,北京大学出版社
《物理学中的群论》,马中骐,科学出版社
《典型群及其在物理学中的应用》,怀邦,冯承天
等译,科学出版社
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第一章群的基本知识
1 群
◆群的定义:假设G是由一些元素组成的集合,即G={…, g, …}. 在G中各元素间定义了一种合成规则( 操作,运算,群的乘法). 如果G对这种合成规则满足以下四个条件:
a)封闭性. G中任意两个元素的乘积仍然属于G.
b) 结合律.
c) 单位元素. 集合G中存在一个单位元素e, 对任意元素, 有
d) 可逆性. 对任意元素, 存在逆元素, 使
则称集合G为一个群.
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●有限群: 由有限个元素构成的群. 群元的个数定义为群的阶.
例子:
1) 由{-1,0,1} 三个数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群, 单位元素为0.
2) 空间反演群: 三维实空间中的恒等变换 E ( )和反演变换 I ( ). 如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 则E 和I 构成一个二阶有限群, 称为空间反演群.
3) n阶循环群. 由一个元素 a 的幂构成的有限群. 设, 则

构成一个群, 称为n阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群.
4) 平面正三角形对称群. 保持平面正三角形空间
位置不变的所有转动变换
e : 不转 d : 绕 z 轴转2π/3
f : 绕 z 轴转4π/3 a : 绕 1 轴转π
b : 绕 2 轴转π c : 绕 3 轴转π
定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 构成一个群.
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●有限群的乘法表: 将有限中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表.

例: 1) n阶循环群的乘法表
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例: 2) 平面正三角形对称群的乘法表
{ e, d, f } 构成三阶循环群
{ e, a }, { e, b }和{ e, c }均构成二阶循环群.
e
d
f
a
b
c
e
e
d
f
a
b
c
d
d
f
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c
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b
f
f
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d
c
c
a
b
d
f
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●无限群: 由无限个元素构成的群.
例子:
1) 由所有整数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个分立无限群, 单位元素为0. 分立无限群: 群元无限可数.
2) 空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换对于变换乘法构成一个连续无限群.
变换乘法: 从左向右依次施行变换. 连续无限群: 群元无限不可数, 可用一组连续变化的参数来描述.
3) 三维转动群SO(3). 三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续无限群. SO(3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴 k 转ψ的转动示,由三个连续变化的有界参数(θ,φ,ψ)标记.
●满秩(正则,非奇异)矩阵构成的群: 以矩阵的乘法作为群的乘法
1) 一般复线性群GL(n,C): 所有n阶正则复矩阵构成一个2 维连续群, 群元可用2 个实参数标记.
一般实线性群GL(n,R): 所有n阶正则实矩阵构成一个维连续群, 群元可用个实参数标记.
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2) 特殊复线性群SL(n,C): 所有行列式为+1 的n阶正则复矩阵构成的
维连续群, 群元由个实参数标记.
特殊实线性群SL(n,R): 所有行列式为+1 的n阶正则实矩阵构成的
维连续群, 群元由个实参数标记.
3) 酉群U(n): 所有n阶酉矩阵构成的维连续群, 群元由个实参数标记.
特殊酉群SU(n): 所有行列式为+1 的n阶酉矩阵构成的维连续群, 群元由个实参数标记.
4) 正交群O(n,C): 所有n