基本不等式教案.doc

课题: §
第1课时
授课类型:新授课
【教学目标】
:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
:通过实例探究抽象基本不等式;
:通过本节的学****体会数学来源于生活,提高学****数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
【教学过程】

基本不等式的几何背景:
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。


将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:。
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。
:一般的,如果
:你能给出它的证明吗?
证明:因为
当
所以,,即
)从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得,
通常我们把上式写作:
2)从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明:
要证(1)
只要证 a+b (2)
要证(2),只要证 a+b- 0 (3)
要证(3),只要证( - ) (4)
显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。
3)理解基本不等式的几何意义
探究:课本第110页的“探究”
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB
即CD=.
这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.
因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述:、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
,我们称为a、b的算术平均数,称为a、:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x、y都是正数,求证:
(1)≥2;
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
分析:在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.
解:∵x,y都是正数∴>0,>0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0
(1)=2即≥2.
(2)x+y≥2>0 x2+y2≥2>0 x3+y3≥2>0
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y