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相应的偏微分方程必须在整个区域上得到满足,

物体的边界分为两类和,在边界上位移受到约束,在边界上应力受到约束。在上的边界条件称之为位移边界条件,或强制边界条件,或Neumann边界条件。对大多数实用问题,位移边界条件通常为
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在上的边界条件称之为力的边界条件,或自然边界条件,或Neurmann边界条件。力的边界条件可写为
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现以偏微分方程组式()为例,说明近似解的构造。位移由个待定参数和一族已知函数来近似,即
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其中称之为插值函数,或形函数,或基函数,或试探函数;为待定参数,与结点在方向的位移有关。用矩阵形式,式()可表达为
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其中
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形函数的合理选择将在第()节中详细讨论。由应力平衡方程式()可获得余量
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等效积分的加权余量形式为
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通过合理地选择个线性独立的权函数,式()中的个待定参数可由式()唯一确定。对于精确解,余量恒等于零。而对于近似解,余量则不总是为零,式()表明余量在权函数方向投影的积分为零。将余量表达式()代入式()中,则有
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通过乘积函数的微分法则
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和分部积分,式()可转化为
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利用高斯积分定理(见附录式()),得
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其中为域的边界,为边界的外法线方向。将式()代入式(),则体积分
()
在位移边界上的积分为零,因为位移边界条件应被满足,权函数在位移边界上选为零,如果将权函数看成容许的变分,则在位移边界上变分必须为零,即。在力的边界上
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代入式(),则有
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推导式()的另一种途径是对力的边界条件式()同样引入权函数,要求权函数对偏微分方程余量的区域积分和对力的边界条件余量的边界积分之和为零。这时虽然有更多的积分项,但部分积分项正好相互抵消,见文献[Papadopoulos 1996a].。
在等效积分形式()中,位移必须满足位移边界条件和力的边界条件。而在等效积分的弱解形式()中,力的边界条件已被考虑,位移只需满足位移边界条件。鉴于使用整体积分和加权余量,力的平衡方程和边界条件只需近似地满足。由于在分部积分中通过提高权函数的可微性要求而降低了对位移函数的二阶可微性要求,积分形式因此被称之为弱解形式或变分形式。具体地说,位移函数在弱解形式中只要一次可微即可,不再需要二次可微。由于权函数通常相对简单一些,通过合理的选择,权函数的可微性要求容易满足。
为了获得确定待定系数的线性方程,将近似的位移场式()代入应变表达式()中,则得应变张量
()
相应的应变和位移间的矩阵表达式为
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其中
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将式代入材料的本构关系式中,则有
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以及引进与矩阵和结构类似的矩阵
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弱解形式()可写成
()
由本够关系式(),则进一步有
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由于待定参数与空间坐标无关,可以提到积分号外,因此式()可写为
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于是,所求的线性方程组为
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其中
(刚度矩阵) ()
(质量矩阵) ()
(体力向量) ()
(面力向量) ()
方程式()是一组线性常微分方程,给定初始条件,。对于静力学问题,因此方程式()为一组线性代数方程
()
。不论是静力学问题还是动力学问题,求解出待定参数后,位移项即可由式()确定。
方程式()涉及整个区域,为使微分方程的近似解有满意的精度,人们必须适当地选取权函数和形函数。对复杂的几何形体,它们的确定通常是一项困难的工作。在有限元法中,区域有许多简单的微小单元,即有限元来近似。其优点是对简单的有限单元权函数和形函数很容易确定,然后通过合理的装配,偏微分方程在整个区域上的解则能够近似地计算。权函数的不同选择导致不同的计算方法,。权函数的选择取决于插值的精度、单元的几何形状以及待定系数的物理意义等因素,。待定参数的物理意义取决于应用的单元类型。对线弹性问题,