考研数学三模拟题答案解析.doc

参考答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设函数有二阶连续导数,且,,则
(A)在点处取极大值
(B)在点处取极小值
(C)点是曲线的拐点
(D)点不是的极值点,点也不是的拐点
[ ]
正确答案:B.
解析:由,,得,而由连续知连续,所以.
于是,
所以是的驻点.
又由,,
得,即,
所以在点处有,,
(B).
(2)设函数在全平面上都有,.则下列条件中能保证的是
(A) (B)
(C) (D)
正确答案:C.
解析:由,当固定时,对单调下降,故对时,有
;
又由,,当固定时,对单调上升,故对时,有
;
因此,当时,(C).
[ ]
(3)累次积分可以写成
(A) (B)
(C) (D)
[ ]
正确答案:D.
解析:由题设可知积分区域在极坐标系下是,的图形如图所示.
它在直角坐标系下是或
,因此,这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为或.
由此可见(D)是正确的,应选(D).
(4)设,级数
(A)绝对收敛(B)条件收敛
(C)发散(D)敛散性与有关
[ ]
正确答案:B.
解析:当时,由积分中值定理得
,,
所以,,
而,发散,所以原级数非绝对收敛.
又,
而,即单调减少.
由莱布尼茨判别法知原级数收敛,故级数是条件收敛的,应选(B).
(5)设,是阶可逆矩阵,
①; ②;
③只有零解; ④不可逆.
中正确的项数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
[ ]
正确答案:C.
解析:因,满足.
两边取行列式,显然有,(A)成立.
又,移项,提公因子得
,
,
.
故,都是可逆阵,且互为逆矩阵,从而知方程组只有零解,正确. 不可逆是错误的,又因,故,
从而有,,得,从而有
成立.
故(1)、(2)、(3)是正确的,应选(C).
(6)已知线性方程组有解,其中,,,则等于
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
[ ]
正确答案:D.
解析:将的增广矩阵作初等行变换,
,
有解,得,故应选(D).
(7)设、、为事件,,如果,则
(A) (B)
(C) (D)
[ ]
正确答案:D.
解析:已知意指:“在发生的条件下,与独立”.所以“在发生的条件下,发生与否不影响发生的概率”,即,选择(D).
:
,选择(D).
选项(A)、(C)表示:在发生下,与独立;选项(B)表示:在发生下,与独立.
注:条件,除了保证各条件概率有意义外,还保证各项概率均不为零.
(8)设是总体的简单随机样本,记,,,则的值为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
[ ]
正确答案:C.
解析:,,且,相互独立.
所以.
二、填空题:9~14小题,每小题4分,.
(9)的实根个数是_____.
正确答案:1.
解析:设,
则,,
由介值定理知,存在,使.
又,而,,
故,严格单调增加,只有唯一的根.
(10)设存在一阶偏导数,且,,.又
,则_____.
正确答案:7.
解析:由复合函数求导法则,逐层展开有,
所以.
(11)设是由确定的隐函数,则.
正确答案:.
解析:在方程中令可得,
将方程两边对求导数,得
将,代入,有,即
(12)幂级数的收敛域为____.
正确答案:
解析:由公式,

所以,收敛区间,,原级数成为,收敛;,.
(13)设是三阶矩阵,有特征值,,.是的伴随矩阵,是三阶单位阵,则
正确答案:.
解析:有特征值,,,故,.
从而有.
(14)已知随机变量的概率分布为,当时随机变量在上服从均匀分布,即则
正确答案:.
解析:由题设知,.
根据全概率公式得
.
三、解答题:15~23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)设函数在点处二阶可导,且满足.
求与.
解析:由题设可知
,
,
从而
(16)计算二重积分,其中积分区域由轴与曲线围成.
解析:引入极坐标满足,在极坐标中积分区域可表示为
,于是
由于,
,
故.
(17)设生产某种产品需投入甲、乙两种原料,和分别为甲、乙两种原料的投入量(单位:吨),为产出量,且生产函数为,其中常数,,.已知甲种原料每吨的价格为(单位:万元),乙种原料每吨的价格为(单位:万吨).如果投入总价值为(万元)的这两种原料,当每种原料各投入多少吨时