长春三模月数学理科.doc

长春市普通高中2015届高三质量监测(三)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,,其中第Ⅱ卷22题-24题为选考题,,将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上).
已知集合,,则
A. B. C. D.
设复数(是虚数单位),则=
A. B. C. D.
已知,且,则向量与向量的夹角为
A. B. C. D.
已知中,内角的对边分别为,若,,则的面积为
A. B. 1 C. D. 2
已知,,则函数为增函数的概率是
A. B. C. D.
阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是
A. B.
C. D.
如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中,若满足,则的最大值是
A. 2 B. 8 C. 14 D. 16
已知直线与抛物线交于两点,点,若,则
A. B. C. D. 0
对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数:
(i) 对任意的,恒有;
(ii) 当时,总有成立.
则下列四个函数中不是函数的个数是
①②
③④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知双曲线与函数的图象交于点,若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点,则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
若对,不等式恒成立,则实数的最大值是
A. B. 1 C. 2 D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题-24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
函数()的单调递增区间是__________.
的展开式中常数项为__________.
已知定义在上的偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集是__________.
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a,球的半径为R. 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、,则的值是.
三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
(本小题满分12分)
已知数列中,,其前项的和为,且满足.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)证明:当时,.
(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,
∠DAB=,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点分别为AB和PD中点.
(1)求证:直线AF平面PEC ;
(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
(本小题满分12分)
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
5
7
9
8
乙班
4
8
9
7
7
(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);
(2)若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作和,试求和的分布列和数学期望.
(本小题满分12分)
已知椭圆:的上顶点为,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:过椭圆:上一点的切线方程为;
(3)从圆上一点向椭圆引两条切线,切点分别为,当直线分别与轴、轴交于、两点时,求的最小值.
(本小题满分12分)
定义在上的函数满足,.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间;
(3)如果、、满足,那么称比更靠近. 当且时,试比较和哪个更靠近,并说明理由.
请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
(本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲
如图所示,为圆的直径,,为圆的切线,
,为切点.
(1)求证:;
(2)若圆的半径为2,求的值.
(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).
(1)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程;
(2)已知,圆上任意一点