循环群、子群.doc

循环群、子群.doc循环群、子群
授课教师:殷晓斌
一、教学目标
1、理解循环群、子群的定义;
2、掌握循环群的结构;
3、掌握子群的几个充要条件。
二、教学重难点
重点:循环群、子群的定义
难点:循环群的结构定理
三、教学方法
尝试指导法
学生依据循环群、子群的定义,在教师指导下能自己证明循环群的结构定理与子群的几个充要条件,能自己独立完成课后****题与课堂作业。
四、教学过程设计
1、复****群的第一定义与第二定义。
2、引入
看一个群G,G的元会不会都是G的固定元a的乘方?这是可能的。例如:G是整数集关于加法的群,简称整数加群。
,m都是“1”的乘方
事实上,设m>0,将“+”用“”表示,
则
由是1的逆元及

又0是G的单位元,故
3、讲授新课
定义1:若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,即,则称G为循环群,并称G是由a所生成的,记为,a叫做G的生成元。
例如:整数加群是循环群,1是它的生成元。
例1:是模n的剩余类的集合。在G中规定: ,则有:
(1)如上规定的“+”是G的代数运算
若,,则,
∴,
∴
∴
(2)“+”适合结合律
(3)
(4)
故(G,+)是群——模n的剩余类加群,常记为。此外,(G,+)是一个循环群,以[1]为一个生成元,即。
定理1:设G=(a)为一个循环群,则有
(i)若a的阶无限,则G与整数加群同构;
(ii)若a的阶为n,则G与同构。
证明:(i)若a的阶无限,则,(事实上,若h=k则显然;若,但,不妨设h>k,从而,此与a的阶无限矛盾。故h=k)
作;,则为一一映射且对,
∴为同构映射, ∴
(ii)若a的阶为n,则。
若,则,使得,∴∴
若,记(0≤r<n)
则,由阶的定义知,r=0,∴
作;,则为一一映射且对,

∴为同构映射∴。#
注:由此定理可知,对循环群G=(a):
(1)若a的阶无限,则
其中
(2)若a的阶为n,则
其中,其中(0≤r≤n-1)
利用群的子集推测整个群的性质是研究任何群都要用到的方法之一。
定义2:一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法本身作成一个群,记为H≤G。
例2:对任意群G,G至少有两个子群:G与,称为G的平凡子群,若G还有其它的子群,则称其为G的真子群。
例3:,,则H≤G。
Ⅰ.
(1)
(12)
(1)
(1)
(12)
(12)
(12)
(1)
∴ H对于G的乘法是封闭的。
Ⅱ. 结合律对G中的元成立,从而对H中的元也成立。
Ⅳ.
Ⅴ. ,
定理2:设H是群G的一个非空子集,则H≤G (i) ,;(ii) ,。
证明:Ⅰ. 由(i)知,H关于G的乘法封闭
Ⅱ. 结合律成立
Ⅳ. ∵,取,由(ii),由(i)知,
Ⅴ. 对,由(ii)知,使得。
:设H≤G,则(i)显然成立。
对(ii):因H是群,设是H的单位元,任取,
有,又,方程在G中有解。
∴∴
又方程在H中有解。从而在G中有解。
∴#
推论:若H≤