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《高等数学复****教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求

函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)
几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)

极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续(左、右连续)与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)
二、题型与解法

(1)用定义求
(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)
(3)变量替换法
(4)两个重要极限法
(5)用夹逼定理和单调有界定理求
(6)等价无穷小量替换法
(7)洛必达法则与Taylor级数法
(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
1.(等价小量与洛必达)

解:
(洛必达)
3. (重要极限)
、b为正常数,
解:令
(变量替换)
5.
解:令
(变量替换)
,,求
(洛必达与微积分性质)
=0连续,求a
解:令(连续性的概念)
三、补充****题(作业)
1. (洛必达)
2. (洛必达或Taylor)
3. (洛必达与微积分性质)
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求

导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)
会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图
会计算曲率(半径)
二、题型与解法

基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
,求
,求
解:两边微分得x=0时,将x=0代入等式得y=1
,则

。
解:
(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。
解:需求,等式取x->0的极限有:f(1)=0

,
,求点的性质。
解:令,故为极小值点。
7.,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解:定义域
、渐进线。
解:,

9.
或:

解:
=

,
证:1)令

2)令

,且,
,求证:在(-1,1)上存在一点
证:
其中
将x=1,x=-1代入有
两式相减:
13.,求证:
证:
令
令
(关键:构造函数)
三、补充****题(作业)
1.

3.
>0时
证:令


第三讲不定积分与定积分
一、理论要求

掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系)
会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部)

理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法
会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题(长、面、体)
会用定积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值
二、题型与解法

1.
2.
,求
解:
4.

,,且,求并讨论在的连续性。
解:

6.


[0,1]连续,在(0,1)上,且,又与x=1,y=0所围面积S=2。求,且a=?时S绕x轴旋转体积最小。
解:

,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。
解:切线绕x轴旋转的表面积为
曲线绕x轴旋转的表面积为
总表面积为
三、补充****题(作业)
1.
2.
3.
第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求

理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法

理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值

掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平