西安交通大学03-09 高数考题.doc

2003年1月
一、解下列各题
1、
2、设由方程确定,求
3、设在点连续,试确定的值
4、判定级数的敛散性
5、设曲线方程为,求此曲线在点处的切线方程
6、设在点处有,而在点及其邻域有定义且有界,试证明函数在点处可导,并求
7、将展开成周期为的付立叶正弦级数
8、计算不定积分
9、计算定积分
10、求由所围成的平面图形绕轴旋转所成的立体的体积
二、证明:当时,
三、A,B两厂在直河岸的同侧,A沿河岸,B离岸4公里,A与B相距5公里,今在河岸边建一水厂C,从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的倍,水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省?
四、试求幂级数的收敛域及和函数
五、设为上单减连续函数,有,证明当时,为单调减函数
六、设在上连续,在内可导,且,证明:存在一点,使得
七、已知可导函数满足,求
2004年1月
一、解下列各题
1、
2、设,求
3、求不定积分
4、求不定积分
5、求定积分
6、求由曲线及轴围成的图形的面积。
7、判定级数的敛散性
8、将展开为的幂级数,并求收敛域。
9、求幂级数的收敛域及和函数。
10、曲线上哪一点的法线在轴上的截距最小
二、证明:当时,
三、设某产品的成本函数为,需求函数为,其中为成本,为需求量(也是产量),为单价,都是正常数,且。求(1)
利润最大时的产量及最大利润;(2)需求价格弹性;(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。
四、曲线轴旋转一周,得一旋转体,若把它在与之间部分的体积记为,试求
五、设为上连续,且,求证:在内存在一点,在
05年1月
一、、解答下列各题(每小题6分,共60分)
计算极限.
设,求.
设在处可导,求常数和.
,是条件收敛还是绝对收敛?
设由方程所确定,求
设连续,且满足,求?
将展开成以为周期的傅里叶级数.
求的极值.
9. 计算定积分
10. 求曲线直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.
二、(8分)试证明不等式时,
三、(9分)将函数展成的幂级数,并指出收敛区间.
四、(9分)已知在的邻域内可导,且,.求极限.
五、(8分)求幂级数的收敛域及和函数.
六、(6分)设在上连续,在内可导,且,证明:
06年1月
一、解答下列各题(每小题6分,共60分)
计算极限
设,求.
设,求.
判定的敛散性.
设由方程所确定, 求.
计算不定积分.
将展开成以为周期的Fourier级数.
将函数展开成的幂级数,并指出收敛区间.
求微分方程的通解.
设曲线与交于点,过坐标原点和点的直线与曲线围成一个平面图形,问为何值时,该图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积
最大.
二、(8分)试证明不等式:当时,.
三、(9分)设,求.
四、(9分)一物体在某一介质中按作直线运动,已知介质的阻力与物体速度的平方成正比,计算物体由移动到时克服阻力所作的功.
五、求级数的和.
六、(5分)设,证明:
07年1月
一、解答下列各题(每小题6分,共60分)
,求.
3. 设,求
.

6. 设为的原函数,求
,并求此级数分别在和两点的收敛值.
,并指出其收敛域.
.
.
二、(9分)若函数在点可导,求和
三、(9分)在曲线上求一点,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大,并求出此最大面积.
四、(8分)半径为的半球形水池充满水,将水从池中抽出,当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时,试问此时水面下降的深度为多少?
五、(8分)求幂级数的和函数并求出级数的和.
六、(6分)已知函数在上可导,且并满足等式
,求并证明:
(11)
一、解答系列个题(每小题6分,共60分)
计算极限
设,求
设求
判定级数的敛散性.
判断反常积分的敛散性,若收敛,试计算其值.
计算不定积分.
计算定积分.
将函数在上展成以4为周期的正弦级数.
求微分方程的通解.
.
二、(9分)证明:当时,有
三、(9分)设抛物线通过点,为了使此抛物线与直线所围成的平面图形的面积最小,试确定和的值.
四、(8分)设一车间空间容积为10000立方米,%的二氧化碳(以容积计算),%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米每分钟的流