FY(y)=F (+, y)= =P{Yy} 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.
一、边缘分布函数
FX(x)=F (x, +)= =P{Xx}
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数;
边缘分布实际上是高维随机变量的某个
(某些)低维分量的分布。
(X,Y)的分布函数为
求FX(x)与FY(y)。
二、边缘分布律
若随机变量X与Y的联合分布律为(p80)
(X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,i, j=1, 2, …
则称
P{X=xi}=pi.= ,i=1, 2, …
为(X, Y)关于X的边缘分布律;
P{Y= yj}== ,j=1, 2, …
为(X, Y)关于Y的边缘分布律。
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。
x\y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
解:
x\y 1 0 pi.
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
故关于X和Y的分布律分别为:
X 1 0 Y 1 0
P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
2/5
3/5
2/5
3/5
三、边缘密度函数
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
设(X, Y)~f (x, y), (x, y)R2, 则称
为(X, Y)关于X的边缘密度函数;
同理,称
易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数,而fY(y)是N(2, 22)的密度函数,故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
解:(1)由归一性
设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布,
求关于X的和关于Y的边缘概率密度
x=y
x=-y
EX1
设(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
EX2
四、随机变量的相互独立性
定义称随机变量X与Y独立,如果对任意实数a<b,c<d,有
p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立,则称随机变量X与Y独立。
定理:随机变量X与Y独立的充分必要条件是
F(x,y)=FX(x)FY(y)
定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量,X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)
定理. 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...,则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j,Pi,j=Pi.Pj 。
由上述定理可知,要判断两个随机变量X与Y的独立性,只需求出它们各自的边缘分布,再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可
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