考研数学一真题解析 2010.docx

2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)极限=
(A)1 (B)
(C) (D)
【考点分析】:考察1∞型不定性极限。
【求解过程】:
方法一:利用求幂指型极限的一般方法:
I=limx→∞x2x-ax+bx
=limx→∞exlnx2x-a(x+b)
归结为求

因此,I=ea-b,选C
【基础回顾】:对于一般的幂指型极限有:
方法二:利用第二个重要极限求解
【基础回顾】:一般地,对于1∞型极限,均可利用第二个重要极限求解:
设,,则

(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=
(A) (B)
(C) (D)
【考点分析】:隐函数求导
【求解过程】:
方法一:全微分法
方程两边求全微分得:
,即
整理得
所以,,。代入即可求得。选B.
方法二:隐函数求导公式法
记,对于隐函数,利用隐函数求导公式得:
,
代入即可求得。选B。
方法三:复合函数求导法
由方程可确定。方程两边分别对x,y求偏导,注意。由复合函数求导法则:
对x求偏导:
对y求偏导:
解得:
代入即可求得。选B。
【方法总结】:上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则,复合函数求导容易出错,注意多加练****br/> (3)设为正整数,则反常积分的收敛性
(A)仅与取值有关(B)仅与取值有关
(C)与取值都有关(D)与取值都无关
【考点分析】:反常积分的判敛法则,超纲题
【基础回顾】:利用反常积分的判敛法则
对瑕点为的瑕积分,设在上连续,且,有如下判敛准则:
若则收敛;
若则发散。
【求解过程】:
因为,所以x=1为瑕点。
而,所以x=0是否为瑕点取决于是否为负数。
仅当与都收敛,I收敛,否则I发散。
的敛散性
①时,~,与敛散性相同,
因为m,n均为正整数,所以<1,所以收敛,也收敛。
②时,~,与敛散性相同。因为m,n是正整数,所以>-1,
若<0,则x=0为瑕点,一定存在常数p满足,使得
,于是收敛。
当时,x=0不是瑕点,不是反常积分,它存在是一个常数。
的敛散性
因为
而,所以收敛。
所以,选D
【自我总结】:若反常积分的结果能够通过计算获得,那么其敛散性可直接由计算获知。若反常积分无法计算,那么其敛散性应由判别法获得。本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。
(4)=
(A) (B)
(C) (D)
【考点分析】:考察利用积分定义求极限
【思路来源】:把和式化成二重积分定义的形式求解,把和式化成定积分定义的形式求解
【求解过程】:
方法一:化成两个定积分定义式的乘积
,选D
方法二:化成二重积分定义式的形式
记D是正方形区域:,
将D的长与宽均n等分,分成n2个小正方形,每个小正方形面积是,于是是f(x,y)在D上的一个积分和。
,选D
(5)设为型矩阵为型矩阵,若则
(A)秩秩(B)秩秩
(C)秩秩(D)秩秩
【考点分析】:矩阵秩的相关公式
【求解过程】:
方法一:利用矩阵秩的相关公式与性质直接求解
r(AB)=r(E)=m, 由于,所以
又A为m×n型矩阵,B为n×m型矩阵,因此。
所以。选A
方法二:利用矩阵秩的相关公式并利用排除法
若m=n则四个选项完全一样
若m>n则,与
矛盾
故必是m<n, 因此r(A),r(B)均不可能是n,所以选A
【基础回顾】:
牢记,
方法三:利用矩阵方程解的情况与矩阵秩的关系
设方程组BX=0,两边左乘A,得
A(BX)=(AB)X=EX=X A(BX)=AO=0 => X=0,即BX=0有唯一零解,故
同理设方程组,两边左乘,得
,即有唯一零解,故,
,选A
(6)设为4阶实对称矩阵,且若的秩为3,则相似于
(A) (B)
(C) (D)
【考点分析】:矩阵特征值的求解,对称矩阵必相似于对角阵,相似矩阵的秩相等
【求解过程】:
方法一:矩阵多项式方程与矩阵特征值的关系
由得矩阵A的特征值满足方程,所以
由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即,对角阵对角线上的元素为A的特征值
由于A的秩为3,所以的秩也为3,所以对角线上的元素一个为0,其他为-1。
综上,选D
【基础回顾】:若给定矩阵A的多项式方程,则A的特征值满足,由此求得的值为矩阵A的全部特征值
方法二:用分块矩阵
设A按列分块为,由知A的列向量组的极大无关组含3个向量,不妨设为A的列向量组的极大无关组,由于,即