正弦函数、余弦函数的函数的周期性.ppt

正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
问题提出
,你能说出它们具有哪些性质?
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是[-1,1]
函数的周期性
一、周期函数的概念
思考1:观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现.
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
2π
诱导公式sin(2kπ+x)=sinx
其理论依据是什么?
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义.
x
y
o
X
X+2π
X
X+2π
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的
当自变量x的值增加2π的整数倍时,,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律
思考2:设f(x)=sinx,则sin(x+2π) =sinx用符号语言可以怎样表示?
f(x+2kπ)=f(x)
这就是说:当自变量x的值增加到x+2kπ时,函数值重复出现.
为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).
思考3:把函数f(x)=,一般地,如何定义周期函数呢?
周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
思考4:周期函数的周期是否唯一?正弦函数y=sinx的周期有哪些?
答:周期函数的周期不止一个.
±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.
周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
已知f(x+T)=f(x) (T≠0),
求证:f(x+2T)=f(x).
证明:因为T是f(x)的周期,
所以f(x+T)=f(x),
F[(x+T)+T]=f(x+T),
即f(x+2T)=f(x).
因此2T是f(x)的周期.
这个命题推广可得到什么结论?
2T,3T,…,nT(n∈Z)也都是f(x)的周期.
如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一个无穷集合.
最小正周期:
今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.
思考5:周期函数是否一定存在最小正周期?
例如:f(x)=c (c为常数)
否
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.