矩阵的有定性及其应用.doc

矩阵的有定性及其应用
摘要:
矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念, 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性,而在本文中,主要讨论阐述的是实矩阵的正定性,,半正定性的定义及其判别方法后,,第一章,,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法,第三章,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例.
关键字:矩阵实矩阵正定性半正定性应用

一、二次型有定性的概念
设是一个数域, , 个文字的二次齐次多项式


称为数域上的一个元二次型, 简称二次型. 当为实数时, 称为实二次型. 当为复数时, 称为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即
称为标准型.
定义1二次型可唯一的表示成
其中, , 为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称的秩为二次型的秩.
定义2 具有对称矩阵之二次型
(1) 如果对任何非零向量, 都有(或)成立,则称为正定(负定)二次型,矩阵称为正定矩阵(负定矩阵).
(2) 如果对任何非零向量, 都有(或)
成立,且有非零向量,使,则称为半正定(半负定)二次型,矩阵称为半正定矩阵(半负定矩阵).
二次型的正定(负定)、半正定(半负定).
,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法
1)矩阵正定性的一些判别方法
定理 1设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.
定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是.
定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.
定理4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数
定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是:存在非奇异矩阵, 。
推论1 若为正定矩阵, 则.
定理6 秩为的元实二次型, 设其规范形为
则:
(1) 负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)
(2) 半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)
(3) 半负定的充分必要条件是(即)
(4) 不定的充分必要条件是(即)
定义2 阶矩阵的个行标和列标相同的子式

称为的阶顺序主子式.
定理7 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.
注:(1) 若是负定矩阵,则为正定矩阵,。
(2) 是负定矩阵的充要条件是:其中是的阶顺序主子式.
(3) 对半正定(半负定)矩阵可证明以下三个结论等价:
a. 对称矩阵是半正定(半负定)的;
b. 的所有主子式大于(小于)或等于零;
c. 的全部特征值大于(小于)或等于零.
以上是几种常规的判别正定矩阵的方法,在这里还要介绍一种利用矩阵分解法判定矩阵正定性的方法:
先给出几个引理及其证明, 然后在此基础上逐步得到一种形式较简便的判断实对称矩阵是否正定的方法, 并推出了将n阶实对称矩阵A分解为特殊三角矩阵与对角矩阵的乘积的具体计算公式。
引理 1 任一正定对称矩阵的顺序主子矩阵