浙江自考真题高等数学(工专).doc

微分方程理论与数学建模
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统,有时找不到该系统有关变量之间的直接关系—函数式,但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式,往往采用微分关系式来描述该系统。为了找出这种微分关系式,常常在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间,然后从中找出有关变量和未知变量的微分(或差分)之间的关系式—系统的数学模型。
建立微分方程的模型,其方法可归纳为:
根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检验的规律和定理,如牛顿运动定律、牛顿冷却定律、物质放射性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分方程模型。
微元分析法。自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题,我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式,而是通过微元分析法,利用已知的规律建立一些变量(自变量与未知函数)的微元之间的关系式,然后再通过取极限的方法得到微分方程,或等价地通过区域上取积分的方法来建立微分方程。
模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中,许多现象的规律性不很清楚,即使有所了解也是极其复杂的。常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型,建模时在不同的假设下去模拟某些实际现象,这个过程是近似的
,用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质,再去同实际情况对比,看这个微分方程模型能否刻画、模拟、近似某些实际现象。
不论应用哪种方法,通常要根据实际情况,作出一定的假设与简化,并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证,以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
一、常微分方程及其模型

(1)导数
设函数在点及其左右附近有定义,如果函数的改变量与自变量的改变量比的极限(当时)存在,则称函数在点处可导,这个极限值叫做函数在点处的导数,记为,即
简单地说,便是函数的变化率,或者说瞬时变化率。
(2)微分
设函数在点处有导数,则称为函数在点处的微分,记作。
(3)微分方程
含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。如果微分方程中的未知函数仅含有一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程。
要注意的是,微分方程中必须含有未知函数的导数(或微分)。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。能够满足微分方程的函数称为微分方程的解。如果微分方程的解所含任意常数相互独立,且个数与方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解。不含任意常数的解称为特解。
常见的微分方程类型
可分离变量的微分方程;齐次方程;一阶线性微分方程;二阶常系数齐次和非齐次微分方程等。

在高等数学课程中,已经学过一些微分方程的求解。一般来说,求解一个应用问题时,可以按照如下步骤:
把用语言叙述的情况化为文字方程;
给出问题所涉及的原理或物理定律;
列出微分方程;
列出该微分方程的初始条件或其他条件;
求解微分方程;
确定微分方程中的参数;
求出问题的答案。

案例1 发射登月体的模型
从地球向月球发射登月体,如果发射体的初速度过小,由于地球的引力的作用就会被吸引回来,即发射不上去;而如果发射体的初速度过大,势必造成原材料的浪费,同时由于月球引力的作用致使登月体与月球发生剧烈的碰撞而使登月体损坏,而且过大的发射速度也对火箭的发射技术提出了更高的要求。而目前火箭技术能否保证足够大的发射速度以及多大的发射速度就能将登月体发射上去呢?
试建立数学模型,估算出至少需要多大的初速度才能把登月体发射到月球上去。
【模型假设】
假设1 地球和月球都是圆球体,半径分别为,;质量分别为,。
假设2 登月体的质量为常数,记为,而且在地球表面以初速度垂直向上发射,直线指向月球的中心。
假设3 不考虑地球与月球的转动,也不考虑太阳及其它星球对地球和月球的吸引作用。
假设4 不计空气的阻力。
【模型建立】
取地球和月球的中心连线作为轴,原点取在这条直线与地面的交点(即发射点)上,并设轴的正向指向月球,登月体将沿轴作直线运动,其运动规律可以用它的位置函数表示。
根据牛顿第二定律,其中分别表示地球、月球对登月体的引力。又由牛顿万有引力定律知,,其中为引力常数,为地球表面与月球表面之间的距离。
因此,登月体运动的数学模型为=,初始条件为。
【模型求解】
由于,所以,于是模型可化为=,其中为自变量,是未知函数。
显然上述方程为变量可分离方程,变量分离后,两边同时积分得,再利用初始条件,得
下面求初速度,使火箭到达中性点时的速度为0,即,中性点是指地球对登月体的引力与月球