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【数学笔记】关于排列组合/概率/数论/整除
1。排列组合:
可“区分”的叫做排列 abc P33
不可“区分”的叫做组合 aaa C33
用下列步骤来作一切的排列组合题:
(1)先考虑是否要分情况考虑
(2)先计算有限制或数目多的字母,再计算无限制,数目少的字母
(3)在计算中永远先考虑组合:先分配,再如何排(先取再排)
例子:
8封相同的信,扔进4个不同的邮筒,要求每个邮筒至少有一封信,问有多少种扔法?
第一步:需要分类考虑(5个情况)既然信是一样的,邮筒不一样,则只考虑4个不同邮筒会出现信的可能性。
第二步:计算数目多或者限制多的字母,由于信一样就不考虑信而考虑邮筒,从下面的几个情况几列式看出每次都从限制多的条件开始作。先选择,再考虑排列。
5个情况如下:
a. 5 1 1 1:4个邮筒中取一个邮筒放5封信其余的3个各放一个的分法:C(4,1)=4
2 1 1:同上,一个邮筒4封信,其余三个中间一个有两封,两个有一封:C(4,1) * C(3,1)=12
c. 3 3 1 1: C(4,2) =6
d. 3 2 2 1: C(4,1) * C(3,2) = 12
e. 2 2 2 2 :1
4+12+6+12+1=35种放法
2。概率
加法原则和乘法原则:问自己这个事儿完成了没有?如果完成了就是加法原则,没有完成就是乘法原则。
例子:从北京到上海可以乘飞机(3种方案),轮船(2种方案),或者火车(5种方案),问从北京到上海乘这3种交通工具共几种方案?答:既然任何一个方案都已经到达了上海,这件事儿已经完成了,所以用加法原则:3+2+5=10种
例子:从北京到上海有2条路线,从上海到深圳有5条路线,问从北京出发经由上海到深圳会有多少种路线?答:当你到达上海时还没有到达深圳呢,没有完成,那就乘起来,用乘法原则:2×5=10
3。数论
考试时可以运用歌德巴赫猜想:任何一个大于等于4的偶数都能表达成两个质数和的形式。
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求最大公约数的方法:辗转相除法
辗转相除法就是当你求AB两个数的最大公约数时你先用大数去被小数除,除完得到一个余数,下一步,你用上一步中那个较小的数去被上一步中的余数除,再得到余数,再继续重复这个步骤直到你用一个除数被余数除时余数为0,在最后这一步中的除数就是AB的最大公约数。我会用一个图来表示这个步骤的。大家看图一。
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AB两数的最大公约数×AB两数的最小公倍数=A×B
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整除,余数,因子数的概念:
如何求一个数共有多少个不同的factor(因子)?
将这个数写成它质因子幂指数相乘的形式,然后将每一个质因子的幂加一,然后彼此相乘,就得到了这个数包括1和它本身在内的所有因子个数:
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