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类比推理的题型分类解析
类比既是一种推理方法(类比推理是一种合情推理),同时也是一种学****方法,尽管由类比推理得出的结论不一定正确,但由于类比在寻找解决数学问题的方法和途径上以及发现科学奥秘方面更优于逻辑推理,.
一、概念类比型
例1(2013?澄海区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16…,这样的数称为“正方形数”.
(1)第5个三角形数是,第n个“三角形数”是,第5个“正方形数”是,第n个正方形数是;
(2)经探究我们发现:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④,⑤,….
请写出上面第4个和第5个等式;
(3)在(2)中,请探究第n个等式,并证明你的结论.
分析:(1)观察发现,第5个三角形数等于第4个三角形数加上5,即为15,第n个“三角形数”等于第(n-1)个“三角形数”加上n,即为1+2+3+…+n,计算即可;第5个“正方形数”是52,第n个正方形数是n2;
(2)根据①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10即可得出第4个等式为第5个正方形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数,第5个等式为第6个正方形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数;
(3)第n个等式为第(n+1)个“正方形数”等于第n个“三角形数”加上第(n+1)个“三角形数”.
解析:(1)15,n(n+1)2,25,n2;
(2)25=10+15,36=15+21;
(3)(n+1)2=n(n+1)2+(n+1)(n+2)2,
∵右边=n2+n2+n2+3n+22
=2n2+4n+22
=n2+2n+1=(n+1)2=左边,
∴原等式成立.
点评:本题考查了整式的混合运算及规律型:数字的变化类,首先要观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律,再根据规律解题.
二、方法类比型
例2(2013?焦作模拟)请阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足a21+a22=1,那么a1+a2≤:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤,若n个正实数满足a21+a22+…+a2n=1时,你能得到的结论为.
分析:由类比推理知识可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…
+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,由对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,即可得到结论.
解析:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,
由对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,得a1+a2+…+an≤n.
故答案为:a1+a2+…+an≤n.
点评:本题先通过对已知结论类比得到结论的推广,