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第二类曲线与曲面积分
(一) 基本概念

若矢量函数与曲线上点(x,y,z)处切线的单位矢量(且的方向指定的方向一致)的点乘积在上的第一类曲线积分存在该积分值称为沿曲线从A到B的第二类曲线积分。
的物理意义是:当流体流速为沿闭合曲线指定的方向通过的环流量。
注:由定义知第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分。,这个积分也具有第一类曲线积分的性质。
由定义容易得到下面两个性质
性质1
注:等式左右两边的正好相差一个符号。
性质2 若有向曲线是由有向曲线,首尾相接而成,则
记
注:是ds在x轴上的有向投影,当为锐角,,当为钝角,,,而是ds分别在y轴,z轴上的有向投影,从而第二类曲线积分五种形式之一出现:
而常常以形式出现的较多,如果是直接计算,不论是给哪一种形式出现,都需化成的形式(最后一种形式和上面形式实际上是相同的)
若曲线,为光滑曲线且起点A对应的参数为,终点B对应的参数为,则

必须注意,公式中的,一定要与曲线的起点A终点B相对应。即化成t函数的定积分时,积分的下限必须是起点A对应的参数,积分的上限必须是终点B对应的参数,至于上下限谁大谁小不受限制,这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时,下限一定小于上限的限制是不同的。
而平面上的第二类曲线积分,是空间第二类曲线积分的特殊情况.
没有洞的平面区域,称为平面单连通区域,有洞的平面区域称为复连通区域。
定义 若空间区域V中任意的封闭曲线L,都可以找以L为边界的曲面,则V为线单连通区域。

若矢量函数与曲面S在曲面上点处单位法向量(的方向与曲面S指定的方向相同)的点乘积在S上的第一类曲面积分存在,该积分值称为沿定侧曲面S上的第二类曲面积分。
的物理意义是当流速为的不可压缩流体,通过封闭曲面S沿指定侧的S流量。
由定义知第二类曲面积分是特殊的第一类曲面积分,若把看成一个数量函数,这时为第一类曲面积分,也具有第一类曲面积分的性质。
由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质
性质1 。
性质2
其中S1,S2的侧与曲面S的侧相同且S=S1+S2,S1,S2只有公共边界。

,且P,Q,R偏导数存在,称函数
为向量函数在点M(x, y, z)的散度,记作即
散度具有线性运算法则,即其中为常数,为向量函数,利用散度的概念,高斯公式可写成下列简洁形式
若有,称为无源场,并有下面两个推论。
设,且P,Q,R具有一阶偏导,称矢量函数为矢量函数在点M(x, y, z)处的旋度,记作,即
,即此时斯托克斯公式可写成
(二)重要定理与公式
(格林(Green)公式) 若函数在有界闭区域D上具有连续的一阶偏导数,则,这里为区域D的边界曲线,并取正向。
格林公式也可借助行列式来记忆.
注意:这里与Q乘积指的是
设在单连通区域D内,P,Q具有连续的一阶偏导数且则环绕同一些洞(如图10-1)的任何两条闭曲线(取同方向)上的曲线积分相等。
平面曲线积分与路径无关性定理
设是平面单连通区域,若函数在区域D
内具有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价:
(1)沿D中任一按段光滑的闭曲线L,有;
(2)对D中任一按段光滑曲线,曲线积分与路径
无关,只与的起点和终点有关;
(3)是D内某一些函数的全微分,即在D内存在一个二元函数,使,即;
(4)在D内每一点处,有
(斯托克斯(Stokes)公式) 设光滑曲面S的边界曲线L是按段光滑的连续曲线,若在S(连同L)上具有连续的一阶偏导数,则
其中S的侧面与L的方向按右手法则确定由定理的证明过程可知,只要以L为边界且符合定理条件的曲面S,结论都成立,从而我们在利用Stokes公式时,寻找以L为边界的较简单曲面S,比如平面上的圆面,椭圆面,三角形平面或球面等等,以利于解决问题。
(空间曲线积分与路径无关性)
设为空间线单连通区域,若函数P、Q、R在上具有连续的一阶偏导数,则以下四个条件是等价的:
(1)对于内任一按段光滑的封闭曲线L,有;
(2)对于内任一按段光滑的曲线,曲线积分与路径无关,仅与起点、终点有关;
(3)是内某一函数的全微分,即存在内的三元函数,使,即;
(4)在内处处成立。
即,其中.
设,其中,称为dS在Oxy平面上的有向投影,当r为锐角时,,当r为钝角时,,当时,。
我们可以证明。事实上,当r为锐角时,知,当r为钝角时,知,当r为时,知。
从而同理可知,,且,其中
第二类曲面积分常常以下面五种形式之