全概率公式与贝叶斯公式.pptx

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例1 有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.
解:记 Ai={球取自i号箱},
i=1,2,3;
B ={取得红球}
B发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生,
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一、全概率公式
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即 B= A1B+A2B+A3B,
且 A1B、A2B、A3B两两互斥
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
运用加法公式得
将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式.
对求和中的每一项
运用乘法公式得
代入数据计算得:P(B)=8/15
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样本空间划分
基本思想
把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和, 通过分别计算这些较简单事件的概率,再利用概率的可加性,得到复杂事件的概率。
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(全概率公式)
如果事件构成一个完备事件组,而且
则对于任何一个事件,有
()
(1)全概率公式中的事件组是完备事件组;
(2)该公式一般用于:所求事件的概率可能由某些原因引发,
而这些原因又构成完备事件组;
(3)在应用该公式时,必须先找出引发该事件的完备事件组。
注意:
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乘法定理
证明关键:找完备事件组,利用概率的可加性及乘法公式
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【例2】播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,%的三等种子,1%的四等种子。用一、二、三、,,,,求这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率?
解:设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1、A2、A3、A4,则它们构成样本空间的一个划分。设B=“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”,则:
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【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解:设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=,P(A2)=P(A3)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=
=
由全概率公式得:
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【例4】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 、、. ,, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
设B={飞机被击落}
Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
由全概率公式
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
则 B=A1B+A2B+A3B
求解如下:
依题意,
P(B|A1)=, P(B|A2)=,
P(B|A3)=1
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可求得:
为求P(Ai ) ,
设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
将数据代入计算得:
P(A1)=;P(A2)=;P(A3)=.
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于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+
P(A3)P(B |A3)
=
=×+ ×+ ×1
.