2002年高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题合集.doc

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题
赛程安排
你所在的年级有5个班,每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10场比赛。如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢?下面是随便安排的一个赛程:记5支球队为A,B,C,D,E,在下表左半部分的右上角的10个空格中,随手填上1,2,…,10,就得到一个赛程,即第1场 A对B,第2场B对C,…第10场C对E。为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角。
这个赛程的公平如何呢?不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等。表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有刮,对D则不公平。
A B C D E
每两场比场间相隔场次数
A
× 1 9 3 6
1,2,2
B
1 × 2 5 8
0,2,2
C
9 2 × 7 10
4,1,0
D
3 5 7 × 4
0,0,1
E
6 8 10 4 ×
1,1,1
从上面的例子出发讨论以下问题
1) 对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。
2) 当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多?
3) 在达到2)的上限的条件不,给出n=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程。
4) 除了每两场比赛间相隔场次数外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣,并说明3)中给出的赛程达到这些指标的程度。
问题的分析体育比赛要消耗大量的体力,特别是球类比赛,必须进行多场长时间的较量,体力是否充沛直接影响到成绩的优劣。如何利用两场比赛之间的空隙的时间进行休整,使体力得到充分的恢复,是个十分重要的问题。而这将决定于赛程的安排。如问题中5个球队的一个程赛安排对A队是最有利的,因为这样的赛程他可以利用在每两场比赛之间的休息时间使体力得到充分恢复。而对于D队必须连续打3场,显然这对他来讲是很不利的。由此可以看出,为了使竞赛对每个队尽可能做到公正,首先要求赛程安排要公平。一个好的赛程安排应该是对每个队都尽量做到公平。
问题1)的解答有多种方法(甚至是凑的方法)都能给出一个达到要求的赛程,如(表1)。
A B C D E
每两场比赛间相隔场次数
A
B
C
D
E
× 1 6 9 3
1 × 4 7 10
6 4 × 2 8
9 7 2 × 5
3 10 8 5 ×
1,2,2
2,2,2
1,1,1
2,1,1
1,2,1
(表 1)
从表中可以看到每个队每两场比赛之间至少都能休息一场。但是无论如何安排都不能使每个队每两场比赛之间休息两场。1就是5个球队各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限。
2)的解答当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是r≤,证明如下:
设赛程中某场比赛是i,j兩队,i队参加的下一场比赛是i,k兩队(k≠j),要使各队每兩场比赛最小相隔场次为r,则上述兩场比赛之间必须有除i,j,k以外的2r支球队参赛,于是n≥2r+3,注意到r为整数即得r≤。
3)的解答 n=8,相隔场次数的上限为r=2。记8支球队为1,2,3,4,5,6,7,8,共28场比赛。一种编制赛程的方法是将赛分为7轮,每轮4场,各队在每轮中相遇,具体步骤如下:
1. 构造为第1轮,即第1场1对2,第2场3对4,…,第4场7对8。
2. 构造为第2轮,方法是:的1不动,其余7个数字按逆时针转动,换一个位置。
3. 构造,将接起束,就得到整个赛程M。
即第1场1对2,第2场3对4,…,第28场5对7。
4. 容易得到赛程M各队每兩场比赛中间相隔场次数及其总数,如表2
队
相隔的场次数
相隔场次总数
1
3, 3, 3, 3, 3, 3
18
2
4, 4, 4, 3, 2, 2
19
3
2, 4, 4, 4, 3, 2
19
4
4, 4, 3, 2, 2, 2
17
5
2, 2, 4, 4, 4, 3
19
6
4, 3, 2, 2, 2, 4
17
7
2, 2, 2, 4, 4, 4
18
8
3, 2, 2, 2, 4, 4
17
(表 2)
以上方法可以推广用于n为偶数的情况。
N=9,相隔场次数的上限为r=3。记9支球队为1,2,…,9,共比赛36场。一种编制赛程的办法是:
1. 画一4×9的表格,如(表3)。第i行第j列的格子记作(i,j),在每格左侧先按行依次填1,3,5,7(第1行1个1,第2行3个3,
…,第4行7个7),后按行依次填8,6,4,2,构成每场比赛的第1支队。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1