第4章+习题(精选).pdf

,则支座到端点的距离 a 与梁长 l 之比
应等于多少?
a / l q
解:此处应理解为弯矩的绝对值相等。
B
ql 2 qla qa 2 A C D
−= a a
8 2 2 l
4a 2 + 4la − l 2 = 0
− 4l + 16l 2 + 4 × 4l 2
a = = qa2 / 2
2 × 4
a
= =
l l ql 2 qla
M −
8 8
注意:本题亦可改为“从弯矩方面考虑,求使梁的两支座间距离最合理的 a 值”。

2. 试作图示各梁的剪力弯矩图。
30 kN
20 kN⋅ m
4 kN⋅ m 4kN/m 15kN/ m
A A B
B C 1m
4 m 3m

F
S
FS




kN⋅ m

M


kN⋅ m
M
q
F = qa
q
A C B
l l
A
C B D
a a a

FS / qa w = w
qa C1 C 2
F l 3 ql 4 F l 3 3
C C = − C , F = ql
A C
B D 3EI 8EI 3EI 16
qa 2 13 5 2
qa B 处 F = − ql , M = − ql
S 16 16
A C
B D
qa2 / 2
M
1
9 2
Mmax = ql
512

F
S 3ql/16
x

3l/16
13ql/16
M 2
9ql /512 x

3ql 2/16
5ql 2/16

3、简支梁的荷载情况及尺寸如图所示,试求梁的下边缘的总伸长。
解:坐标系如图所示。
任意 x 截面的弯矩为:
q
1 1 2
M (x) = qlx − qx ( 0 ≤ x ≤ l ) A x
2 2 B
d x
任意截面,下边缘的拉应力: x
x l
M (x) 6M (x)
σ(x) = = 2 y
Wz bh
根据胡克定律,任意 x 截面,下边缘的纵向线应变:
σ(x) 6M (x)
ε(x) = =
E Ebh2
于是梁的下边缘的总伸长为:
3
ll6 1 1 ql
Δl = ε(x) d x = ( qlx − qx 2 ) d x =
∫∫00Ebh2 2 2 2Ebh2

4. 图示一矩形截面悬臂梁,在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用,其横截面尺寸为 b,h,长度为 l。
(1)试证明在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素τ d A 的合力等于该截面上的剪力,而法向内力
元素σ d A的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部,如图所示,试问在截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如
何?该面上总的水平剪力有多大?由什么力来平衡?

q
b

ABz
x
l y